Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
наглядно представить себе как замкнутую трубку, содержащую предельный
цикл. Поперечное сечение тора лежит в Rn. (в) Поперечное сечение тора Т2
со средним радиусом е для малых е, если (1) множитель Флоке не является
корнем из единицы и (2) множителем Флоке служит корень из единицы с п =
5. (г) Двумерный тор Т2 и периодический сегмент траектории, которая
наматывается на тор.
208
ГЛАВА X
И
2 Q+ 1 <N
2 1т[ав10(ц)ра"] +
2 q+ 1 +
2 q- 1 +kn^N
+ 2 2 P29"2+A"Im[a9i_ft(rte-'ftn0]> +
fe>0 <7>0 J
+ Rt{t, p, p, 0, Y), (X.41)
где
R1 + iR2 = e~l ^+a^b1(t, p, y, y, Y);
(X.42)
при этом у и у даются формулами (Х.38), а Y удовлетворяет уравнению
(Х.25), в котором
так что члены двойных сумм в правых частях (Х.40) и (X.41) обращаются в
нуль. В обоих случаях рационального и иррационального г имеем оценки
| R,(t, р, р, 0, Y) | = 0(рл'+1 +р|| Y 1+11Y Ц2), /= 1, 2, (Х.45) I В.
(/, р, р, 0, Y) | = О (рУ*1 -{- p || Y || +1| Y I2). (Х.46)
§ Х.5. Тор и траектории на торе в иррациональном случае
Анализ наименее сложен, если г иррационально; поэтому используем
рассмотрение этого случая, чтобы ввести понятие тора и асимптотически
квазипериодического решения на торе. Отметим, что системы (Х.40, 41)
автономны с точностью до членов RJy которыми можно пренебречь в первом
приближении. Уравнение (Х.25)-для Y содержит линейную сжимающую часть J
(р) ¦=- (d/dt)-\-fa (t, р |-), потому что все экспоненты Флоке о = ? +
irj имеют отрицательные вещественные части в Y-подпространстве, т. е. для
векторов Y, удовлетворяющих условию <Y, ?*>=0. Для автономных задач в R2
решениями неизменного вида являются неподвижные точки или замкнутые
кривые, соответствующие предельным циклам. В самом деле, мы получим
замкнутую кривую р(0) для системы, аппроксимирующей систему
(Х.40,41,44,25), если Rlt R2 и В2 положить равными нулю. Будет показано,
что приближенная задача имеет периодическое решение с частотой, зависящей
от амплитуды, при этом амплитудой служит средний радиус замкнутой кривой
р (0). Решение
def _
В, (Л Р. Р. 0. Y)=-Bi(f, Р, у, у, Y).
Если г иррационально, то положим
-ft = 0,
(Х.43)
(Х.44)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 209
исходной задачи (более точно, приближение ее решения с точностью до
членов порядка р^) представляет собой суперпозицию Т-периодических
функций и вышеупомянутых периодических решений с периодом т, зависящим от
усредненного значения е функции р(0).
Чтобы наглядно представить себе двумерный тор, удобно проследить этапы
наших вычислений. Сначала напомним, что исходная задача (Х.1) была
приведена к локальной форме; решение и = 0 уравнения (Х.1) соответствует
нетривиальному Т-периодическому решению U (/) = U (/ -{- Т). Это решение
можно представить в виде окружности в (п + 1)-мерном фазовом
пространстве, координатами которого являются компоненты вектора и и время
t. Эта "окружность" отождествляется с решением и = 0 в R" и множеством
чисел ^€[0. Т), где t + T отождествляется с точкой t С [0, Т) (потому что
U (t + T) = U (/)). Интервал [0, Т) и правило отождествления для t + T
называется одномерным тором Т1. Отождествление означает, что мы
"соединяем" концы интервала [0, Т) и образуем окружность ГхО в R"+1. Эта
окружность является предельным циклом для нетривиальной периодической
аадачи, который можно наглядно представить себе как настоящую окружность
любого радиуса с углом ср = = 2nt/T, где <р € [0, 2л), а ф + 2л
отождествляется с ф, как показано на рис. Х.1.
Двумерный тор Т% со средним радиусом е ответвляется от Т1 при.е = 0.
Радиус поперечного сечения тора есть р(0) = р(0-f 2я). Траектория есть
кривая
0 = 0(0, р = р (0(0). Ф = ^ (Х.47)
на торе. Траектории наматываются на тор. Они прошивают отдельное
поперечное сечение, например, А на рис. Х.1, каждый раз, когда t
увеличивается на один период (а ф увеличивается на угол 2л). Если после
некоторого числа циклов, скажем п, за время которых угол ф увеличивается
на 2лп, угол 0 также периодически повторяется, т. е.
0 (t + nT) = 0 (/), (Х.48)
то решение на торе является периодическим. Если решение квази-
периодическое, то оно имеет две рационально независимые частоты 2лIT и
со(е), при этом 0 = со(е)/. В квазипериодическом случае траектории плотны
на торе Т2 и называются эргодическими.
Пытливый читатель теперь может спросить, почему мы говорим о приближенной
задаче с точностью до членов порядка р", если N произвольно. Почему не
переходим к пределу? Ответ здесь состоит в том, что получаемые решения
являются асимптотическими (при е->О) и, вообще говоря, расходящимися (см.
замечания в конце этого параграфа). Для расходящихся приближений часто
имеет место ситуация, когда существует некоторое оптимальное N (е),
зависящее
210
ГЛАВА X
от е, такое что приближения для некоторого е становятся все лучше и
лучше, если N < (V (е) и возрастает, и все хуже и хуже, если N> N (е) и
возрастает. Поэтому лучше представлять себе приближение фиксированного,
