Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
yt отличен от нуля, и это уравнение можно разрешить
относительно у. Так как нас интересуют решения для р.,
близких к
нулю,, то уравнение можно решить относительно у, если коэффициент при уг
не равен нулю при р = 0. Если (р-q-1)(c)0Т/2л = =-10Ф0 и выполняется
условие bi0 - 0, необходимое для разрешимости уравнения (Х.28), то для
малых р возьмем у/о(р)==0. Мы опускаем проверку регулярности по t Т-
периодических решений у (t) уравнения (Х.27), необходимую для полноты
доказательства.
Применим теперь лемму 2 для упрощения (Х.23). Сначала разложим, используя
(Х.27), коэффициент ypq при у?у4 в ряд Фурье и выберем коэффициенты
ур,г(р) в критической точке (р = 0) так, чтобых)
Vpql (0) = t- [(2ni/f) +P(l_ 1 -q) Wo] • (X.29)
Тогда основное следствие из леммы 2 приводит к следующей редук-
ции:
Ьч + [Р -!- Ч] РЯ + ЬР<1 =
= ? { [т^ + (Р -<7)(r)01 iyPqi + bp4i\e2n{^T-'
*szu J j (X.30)
=1>^2лШ/г,
ES
где ES означает "исключительное множество", определенное следующим
образом:
ES = |/ такие, что существуют числа р, q, со", удовлетворяющие условиям
(c)0 = ^, 0, q^ 0, (Х.31)
/?-f<7>2, 0 < г < 1, гф-^> l + r(p-q- l) = oJ-и, естественно,
т
bpql~y§ bpq(s, 0)а-2MTd8.
о
Все возможные типы субгармонической бифуркации, имеющие место, если пара
комплексно-сопряженных множителей Флоке пересекает единичную окружность,
содержатся в множестве ES. Особые
. *) Если ш0Г/2зх иррационально, то для некоторых (р, q, I)
существуют малые
знаменатели (см. упр. Х.5).
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 205
случаи Т-периодической (г "= 0) и 2Т-периодической (г = 1/2) бифуркации,
для которых ^0=1 и ^о = -1. исключаются (см. IX. 12). Если I принадлежит
множеству ES, то нельзя выбрать ypql (0) как в (Х.29). Поэтому мы просто
полагаем ypql (р) - 0 и находим, что ypq(и, ^'удовлетворяет уравнению
УР<1 + [(Р-*)ст + Я°\ Урч +Ь"='Е bpqi (р) е^ш'т,
ES
где, конечно,
т
bpqi (и) - Y j bpq (s, р) ds.
0
Теперь из лемм 1 и 2 следует, что (Х.23) и (X,24) можно привести к виду
у=*оу + 2 *W2bM,(p)e2"w<'r + M<, р, у, У, Y), (Х.32)*
р + р>-2 ES
Y = fB(/, р| + р, у, у, Y). (Х.32),
Удобно разбить исключительное множество на два подмножества,
I. Основное множество:
def (О0Т
{pt q, I, r) = (q+ 1, q, 0, r), r=*-%C.
del
II. Резонансное множество (r=m/n, m<jx, I--km, kn=p-q-1):
(/?, q, I, = (<7+ 1 + nk, q, - km, ^-) .
Если r-иррациональное число, то могут войти только члены, соответствующие
основному множеству, и (Х.32) можно привести к виду
2<7+1"Л _ _ _
у = оу+ 2 y4+lyQbq+i, ",о(р) + М*. р. У, I/. Y), (Х.ЗЗ)
где Y удовлетворяет уравнению (Х.32),. Если существует 1, такое что
А,"=1, то в у войдут члены, соответствующие обоим множествам,
2(?+1<Л/ _
У = °У+ 2 y4 + 1y4bq + i, q, о(р) +
<7>1
2q-l+kn<N _ (Х.34)
+ 2 2 {y4 + l+kny4bq+i+kn.q.-l!m^)e-2ltl'!mtlT +
ь>0 q> 0
+ yqy9-1+knbq,q-i+kn,km(p)e2nikmVT\+bl{t, р, у, у, Y).
206
ГЛАВА X
Для последующего анализа важно подчеркнуть, что если в (Х.34) пренебречь
членом bit то это уравнение можно преобразовать к автономному уравнению
для х^=е~1и,1>{ у, где со0 = 2лr/T, r=*m/n. Для упрощения записи этого
автономного уравнения и других используемых ниже уравнений определим
def
aq, 0 (И') = ^<7+ •. Я, 0 (р) aq (lOi
def
aq, к (р) ~bq+ 1 +kn, q, -km (p)> def
aq, -k (l1) " q-1 +kn, km (p).
Тогда автономное уравнение для х = е-ш"*у, получаемое из (Х.34) при
отбрасывании blt имеет вид
2q+l<N
* = pll(p) + Mp)]* + 2 х\х\2чач +
2q-\+kn<N _
+ 2 2 |*| S9{^1+*nv+^n~4.-*K (X .35)
k>b q> 0
где
О = to0 + р [I (р) -f to (р)] (X. 36)
и I (0) > 0, так как мы предположили, что потеря устойчивости нулевого
решения является строгой. Многие свойства бифуркации решений уравнения
(Х.1) можно установить из (Х.35) или даже из упрощенного варианта (Х.35),
имеющего вид
*"P[S(p) + MM')]* + Ma*ai + M4*a2+ ••• +хп~1а0' _х+ ... .
(Х.37)
§ Х.4. Нормальные уравнения в полярных координатах
Теперь нашей основной целью является вывод аналитических выражений для
тора, изображенного на рис. Х.1, поперечное сечение которого описывается
уравнением р *= р (0), где (р, 0)-полярные координаты, связанные с х и у
соотношениями
у - е^х, х = рею. (Х.38)
Для того чтобы преобразовать к полярным координатам уравнение (Х.ЗЗ),
описывающее эволюцию у в случае, когда г иррационально, И уравнение
(Х.34), описывающее эволюцию у в случае, когда г = •* m/п рационально,
рассмотрим преобразование (Х.38) и соотношение
f/ = [p + toop4-f0p]ei<0+ca*(>. (Х.39)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 207
Тогда в рациональном случае получаем
( ^ 2 q+l<N
р = р{ р!(р)+ 2 Re[aqt о(|А)ра"] +
2q+1 +Ап<Л/
+ S 2 р*"+кпя e[a,tft(p)^n0] +
ft>0 q>0
2q-l+kn^N ^
+ 2 2 P2?_a+ft'IRe[a"_ft(p)e-'ftn0]> +
ft>0 q> 0 )
+ Ri (/. P, P, 0. Y) (X.40)
Рис. Х.1. Эскиз бифуркационного тора T2. (а) Тор Т1 (предельный цикл,
который соответствует нетривиальному Т-периодическому решению U (0 = U (<
+ Г)). (б) Тор Т2 (показан вид его экваториального сечения) можно
