Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 63

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 102 >> Следующая

0 и для рУ* < 0 < р?2) имеем
Л,
p<" + Re-^ = -p'2>-
¦Re - < 0.
Оц
Поэтому для каждого из двух бифуркационных решений y^'yf' <0. Это
означает, что оба 47-периодических бифуркационных решения неустойчивы. С
другой стороны, если |Л2|>|Л3| и 11 m (Л2/а^) | < <|А,/ай|, то р^'ра2' >
0 и у^'уУ отрицательно для одного из двух бифуркационных решений. Для
другого решения у^у2' > 0 и устойчивость определяется знаком выражения
p2|n-f2ReA2 (имеет место устойчивость, если указанное выражение < 0, и
неустойчивость, если оно > 0) (см. рис. IX.3).
190
ГЛАВА IX
X \ \ \ е У / / 1
/ / / / / у \
Рис. IX.3. 4Т-периодические бифуркационные решения малой амплитуды. 4Т-
пе-риодические решения ответвляются, если | Im (Л2/Оц)| < | Лз/сГц |.
(а) Случай
(Л21 < |Л8|. Ответвляются два 47-периодических решения, и оба
неустойчивы, (б) Случай | Л2 | > | Л3 |, Re (Ла/Ор.) < 0. Ответвляются
два решения: одно неустойчиво, а устойчивость другого зависит от
параметров задачи. Если Re (Л2/Оц) > 0, то эти два решения ответвляются в
сторону, где р. < 0, и одно из них неустойчиво.
§ IX. 17. Несуществование субгармонических решений более высокого порядка
и слабый резонанс
Пусть теперь п^Ъ. Анализ уравнения (IX.66) показывает, что р, = 0, и
поэтому р2 и ф0 следует определять из уравнения (IX.67), в котором и,
дается формулой (IX.64) с 05, т<я, а и2 определяется выражением (IX.69).
Небольшие известные нам вычисления показывают, что
P2°U "Ь ^2 = 0> (IX.101)
где Л2 определяется по формуле, приведенной после (IX.80). Вообще говоря,
уравнение (IX. 101) неразрешимо, потому что р2- вещественная величина, a
Im (Л2/ац) Ф 0.
Субгармонические решения с п^5 могут ответвляться в специальном случае,
когда р2 = -Л2/ад, а ср0 можно определить из условий разрешимости более
высокого порядка, и действительно существуют два nT-периодических
бифуркационных решения с л>5.
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 191
Если п = 5, то условие 1т(Л2/ар,) = 0, вообще говоря, является
достаточным для существования этих двух 5Т-периодических решений. Можно
показать, что бифуркация является односторонней; оба решения,
неустойчивы, если они являются субкритическими; одно решение устойчиво,
если бифуркация суперкритическая (см. рис. IX.4).
s
ч
У!
У
/
Рис. IX.4. Слабый резонанс: (а) суперкритическая, (б) субкритическая
бифуркации.
Для существования субгармонических решений с п~^Ъ необходимы специальные
условия (обращение в нуль некоторых скалярных произведений) помимо
условий, требуемых для строго резонансных случаев п- 1, 2, 3, 4. Эти
исключительные решения называются слабо резонансными (по терминологии В.
И. Арнольда). Детальный анализ слабого резонанса дан в монографии Ж-
Йосса Bifurcation of Maps and Applications (Amsterdam: North-Holland,
1979), гл. III.
§ IX. 18. Сводка результатов о субгармонической бифуркации
Пусть выполнены условия (I), (II) и (III) § IX.6.
(1) Если ц=1, то единственное однопараметрическое (параметр е) семейство
Т-периодических решений уравнения (IX. 1) ответвляется с двух сторон от
критической точки. Если п - 2, то с одной стороны от критической точки
ответвляется единственное однопараметрическое (е) семейство 2Т-
периодических решений уравнения (IX.1). Суперкритические (р(е)>0)
бифуркационные решения устойчивы; субкритические (р(е)<0) бифуркационные
решения неустойчивы.
(2) Если п = 3, то ответвляется единственное однопараметрическое
семейство ЗТ-периодических решений уравнения (I X. 1), и оно устойчиво с
обеих сторон от критической точки.
(3) Если п = 4 и | Аз/Од | > | Im (Л2/ар,) |, где Л2 и Л3 определяются по
формулам, приведенным после (IX.80), то ответвляются два
однопараметрических (е) семейства 4Т-периодических решений уравнения
(IX.1). Если |Л2|<|Л3|, то одно из двух бифуркационных
192
ГЛАВА IX
решений ответвляется с субкритической стороны (р (е2) < 0), а другое-с
суперкритической стороны (р (е2) > 0), и оба семейства решений
неустойчивы. Если |Л2|>|Л3|, то с одной и той же стороны от критической
точки ответвляются два решения, и по крайней мере одно из них
неустойчиво; устойчивость другого решения зависит от значений входящих в
задачу параметров.
(4) Если п>5 и Im(A2/oy) =7^= 0, где Л2 определяется по формуле,
приведенной после (IX.80), то, вообще говоря, вблизи от критической точки
не существует малых по амплитуте пТ-периодических решений уравнения (IX.
1).
§ IX.19. Теория несовершенств с периодическим дефектом
Наложим на стационарные бифуркационные решения Т-периодическое
возмущение. Для этого исследования математическая постановка задачи
такова:
-§- = <Г(р, и, б, t), (IX.102)
def
? (р, u, 0, /) = f(p, и) не зависит от t,
? (р, и, б, t) = ? (р, и, 8, /-j- Т), если 6=^0, (IX.103)
? (р, 0, 0, t) = 0.
Предположим также, что нуль есть простое собственное значение оператора
f"(0| •); остальные собственные значения имеют отрицательные вещественные
части. Напомним, 4Tofa(0|g0) = 0, (0|g*)==0, <?о> So) = 1" и отметим, что
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed