Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
y=Z + y(t, р, Z,Z)L (X. 14)
Y-W + r(/,p,Z,Z), (X. 15)
198
ГЛАВА X
где <Y, ?*> = <Г, g*> = 0. Комплексная функция у и вещественная вектор-
функция Г, подлежащие определению, являются Т-периоди-ческими и
обращаются в нуль при Z = 0:
у и Г имеют порядок 0(|Z|a).
Наша цель состоит в том, чтобы показать, что решения, которые
ответвляются от Т-периодических решений при п*Ф* 1,2,3,4, как правило, не
являются субгармоническими и в фазовом пространстве лежат на торе, и что
траектории на этом торе являются асимптотически квазипериодическими.
Определим у и Г так, чтобы после применения метода усреднения к (Х.8) и
(Х.9) в этих выражениях остались лишь существенные члены.
Начнем наш анализ с того, что продифференцируем (Х.14) и (Х.15) по
времени и заменим производные от Z, Zи Wвыражениями (Х.8) и (Х.9). После
указанной замены получим
y = oZ + b + ^ + -ll-(eZ + b) + -^(oZ + b), (X.16)i
Y = f0(^[x|W) + B + ^ + g(aZ+fc) + ^(aZ + b), (Х.16),
где b и В определяются формулами (Х.10-13), а Z и W суть функции от у и
Y, которые подлежат определению.
Будем строить у и Г в виде полиномов степени N относительно Z и Z с Т-
периодическими коэффициентами
В (Х.17) на число N, характеризующее отбрасываемые члены, ограничений не
накладывается (хотя может существовать "лучшее" N для асимптотического
приближения). Так как Г-вещественная вектор-функция, то и
<Г, ?•> = <Г, ?*> = <Грч, ?•> = <Гр", ?•> = 0.
Теперь отбросим в рядах (X .11) и (Х.12) члены, порядок которых выше N,
как в (Х.17), и полученные полиномы подставим в (Х.16), сохраняя в этих
уравнениях только те члены, порядок которых не превосходит N. Имеем
y-oZ+ ? ZpZ<i Г^! + ((тр-1-а(7)ур1)+ъЛ +
р+в>2 L J
+ ^ + (b|j+Fg) + 0(|Z|" + >), (X.18)f
у{t, р, Z, Z) JT(*,p,Z,Z)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 199
v-U<.n|W)+ ? "Л"[^+(ч,+<,,)Г"+в"] +
Р+Я> 2 L -1
+Bi+(bI+;FS)+0(|zri)' (ХЛ8)*
где bi и Bf определяются по формулам, приведенным после (X. 10); b = b0 +
bi, Ьв, у и Г следует заменить полиномиальными представлениями этих
функций вплоть до членов порядка N.
В уравнениях (Х.18) можно исключить Z и W обращением преобразований
(Х.14) и (X.15)s
Z = y+ 2 Y'pg(t,p)y"y<i+0{\y\^), (X.19)
p+q> 2
W = Y+ 2 Гр<1а,р)уРу1 + 0(\у\"+1). (X.20)
Р+Я >2
Это преобразование всегда возможно, если у и Z малы, а y'PQ и Тря можно
определить через у1п и Гг", l + n^p + q, приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях Z^Zi. Например,
Yp<7 ~ Уря Для Р + Я = 2,
Yso =* - Yso + 2Vln + YuYoa.
Yai3 -Yai+SVuYao + lYu l* + 2l Yoalj (X.21)
Vi2 " Yia 4" ^YoaYao 4" YliYao 4" Yn 4" ^YiiYoa"
Yos = Yos "I" Yo aYn 4" ^YoaYao-Вообще говоря, имеем
Yp<7 = -Y/hj4-функции от ytn с l + n^p + q - 1.
Используя (X.15), (X.17) и (Х.20), находим, что T'pQ = - Tp(l для p + q =
2,
Г30 = Г80 -f- 2уаоГ ао 4-УоаГц,
Г21 =* Га1 -f- 2уиГао -f- (уао + уХ1) Гп 2уоаГоа, (Х.22) Г12 = Г1а -f-
2уоаГао + (у1Х + уао) Ги 4- 2у11Гоа,
Гсз = - Г03 + Yao-f 11 4" 2уаоГ0а-
Вообще говоря, имеем
Гр, = -^4-функции от (Гг", у[п) с l + ns^p + q - 1.
Наконец, подставим (Х.19) и (Х.20) в (Х.18) и заменим уря и Г', их
выражениями через ypq и Гр , определяемыми по приведенным
300
ГЛАВА X
выше формулам. Тогда получим
N _ _ _
У = оу+ 2 ypy{yPq + [(P- 1)° + У°]уРЧ+Ьрч} + ЬЛ*, v-,y. У, Y),
P + Q> 2
(X.23)
Y = fB(*,p|Y) + 2 y''yo{tp(!-ta(t,"\rpq) + (po+qd)rpg+
p + q> 2
+ + B1(i, p., y,y, Y), (X.24)
где
\k(t,V,y,~y, Y) | = 0(| г/|лг+1-{-| г/II Y||-{-|| Y f),
IВ At, У, У, Y)|-0(|yr+l + li/ll YII + IYf),
а Т-периодические коэффициенты bpq и Bpg суть функции от у1п и Гг"с l-\-
n^.p-j-q - 1 и обладают тем свойством, чточленамив (Х.24), ортогональными
?* и ?*, служат множители при уруч и Bj.
§ Х.З. Нормальная форма уравнений
Выберем ypq и Грд таким образом, чтобы в (Х.23) и (Х.24) обратить в нуль
возможно большее число коэффициентов при уруч. В приводимой ниже лемме 1
утверждается, что всегда возможно упростить уравнение для Y, обратив в
нуль коэффициенты уравнения (Х.24) за счет соответствующего выбора Грд. В
лемме 2 указаны некоторые условия, при выполнении которых можно упростить
уравнение для у, выбирая ypq таким образом, чтобы обратить в нуль
коэффициенты при уруч. Однако всегда выбрать такие хорошие уря нельзя.
Очень важно, чтобы читатель понял, что следует делать, если нельзя
выбрать урч так, чтобы обратить в нуль выражения в скобках, стоящие
множителями перед уруч.
Предположим, что нам известны ур (t, p.), Tpq(t_, р), p-\-q ^ k - 1,
удовлетворяющие соотношениям <Г ?*> = <Xpq, ?*> = 0. Тогда bpq и Ърч, p +
q = k, известны, и поскольку уравнение_(Х. 18)а линейно относительно Г,
В1( Врг а Грч ортогональны ?* и ?*, то <Bpq, ?*> = = <ВМ, ?•> = (). Лемма
1, приводимая ниже, утверждает, что всегда можно выбрать Грд,
ортогональные ?* и и такие, что
Tpq - (* > Iх I + (Р° + У°) Tpq + Bpq = 0.
В этом случае (Х.24) принимает вид
Y = fB (f, р | Y) -{- Вх {t, р, у, у, Y). (Х.25)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 201
