Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
предположение о строгой потере устойчивости решения и = 0 налагает на
fQ(i условие
MO) = <fB11(0|?o), е;>>0. (IX. 104)
Этих предположений достаточно, чтобы гарантировать существование
стационарных бифуркационных решений (р(е), и(е)), которые можно построить
методами гл. VI.
Теперь мы будем рассматривать стационарное бифуркационное решение как Т-
периодическое решение (для любого Т) и будем искать Т-периодическое
решение уравнения (IX. 102), близкое к тривиальному решению. Снова
определим
^(Е) = -тй + ММ •)>
где оператор Л определен только на Т-периодических векторах и (0 = u (t
+Т). В силу наших предположений относительно оператора fи (01 -) все
комплексные собственные значения оператора Л0 являются простыми и, за
исключением собственных значений (экспонент Флоке) ст(0) = ±2nik/T, k?Z,
все имеют отрицательные веще-
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 193
ственные части. Для собственного значения ст(ц) оператора Л (р), ст(0) -
О, выполняется условие (IX. 104), а ?0 и ?0*-стационарные векторы, такие,
что
Wo-•".*" = 0, [Е",К]г-1-
Для исследования возмущенной задачи можно использовать методы, изложенные
в § VI. 10, если имеет место аналог
т
del 1 (*
(0,0, 0,0, So]r = ^-J <^б(°, °, °, 0, SS>dt?=0 (IX.105)
условия (VI.71). Тогда можно построить ряды
6-8 2 е^"Д,+1,
Р + Я> о
и(0"8?0+е ? up+t )Ч(0е^(х", (IX. 106)
р+я > 1
где аргЧ{-)-Т-периодические вектор-функции.
Если 6=5^0, то при выполнении условия (IX. 105) бифуркационная диаграмма
для стационарных решений разрушается и заменяется на две непересекающиеся
ветви Т-периодических решений, близких к стационарным бифуркационным
решениям, как на рис. II 1.5.
Упражнения IX.1.
^=зри- Ы2+б (a + COS/).
Докажите, что бифуркационные кривые для 6 = 0 расщепляются на
непересекающиеся ветви 2я-периодических решений, если а Ф 0. Найдите ряды
для р (в, 6/в), где оба параметра е и 6/е являются малыми, которые имеют
место для а 0 и для о=0. Повторите упражнение для случая, когда и2
заменяется на и3.
IX.2. Рассмотрите эволюционные задачи вида и=/ (t, р, 6, ц),где/(<, р, 6,
0)= = 0, зависящие от параметра 6, описывающего возмущение, налагаемое на
задачу, исследованную в этой главе. Пусть, далее, имеется множитель Флоке
А, = е° (и, 6) Г, где
а (р, 6) = г<о0-|-рац + 6аб + О [ | р |*+| 6 |2] и Reo^ ф. 0.
(1) Вычислите Стр. и ав, используя скалярные произведения.
(2) Пусть А (0, 0) является простым и вещественным. Покажите, что А (0,
0) = 1 или -1. Затем покажите, что А (р, 6) остается вещественным, если I
р| + | 6 | мало. Вычислите критические значения р(с) (6) = 6рв + О (62),
для которых А [р(С) (6), 6]=1 или -1. Покажите, что если р пересекает
р(С) (6), 6 фиксировано, то А (р, 6) пересекает единичную окружность в
точках А=1 или А=- 1 соответственно.
(3) Предположим, что А (0, 0) простое, а ш0 = 2пт/пТ и 0 < т/п < 1 (как в
этой главе) и я^З. Вычислите критические значения р(с> (6) =6ре -f-О
(62), для которых | А [р<с) (6), 6] | = I. Каким точкам единичной
окружности соответствует значение А [р(с) (6), 6]? Покажите, что условие
[А (0, 0)]п=1 не выполняется для 6^0. Ответ:
arg [А (р<"> (6), 6)] =(в0+ 6 (-т 06Re1тReg6) + Q ^
Кб CTjI
Глава X
БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ Г-ПЕРИОДИЧЕСКИХ
РЕШЕНИЙ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
В гл. IX были установлены условия, при выполнении которых
субгармонические решения, пТ-периодические решения с целыми n> 1, могут
ответвляться от нетривиальных Т-периодических решений. Другими словами,
мы искали условия, при которых неавтономные Т-периодические
дифференциальные уравнения допускают субгармонические решения, когда в
критической точке экспоненты Флоке принадлежат множеству рациональных
точек (со0=2лт/пТ, 0 < m/n< 1) или, что эквивалентно, когда в критической
точке множители Флоке являются корнями п-й степени из единицы, К" =
(е'а°г)п = 1. Мы показали, что если не выполняются некоторые весьма
специальные условия (условия слабого резонанса), то такие
субгармонические решения могут ответвляться только для п= 1,2,3,4.
(Случай п = 4 является особым в том смысле, что, вообще говоря, он
приводит к двум возможностям в зависимости от значений параметров; см.
§1Х. 15.) Поэтому теперь перед нами стоит задача выяснить, что будет
иметь место для значений со0, 0^.а>0^.2л/Т, таких что
Будет показано, что если не выполняются весьма исключительные условия, то
ответвляющиеся решения лежат на некотором торе и являются
асимптотическими для квазипериодических решений вблизи критической точки.
Субгармонические решения, которые ответвляются при выполнении
исключительных условий, также лежат на устойчивом (суперкритическом)
торе. Эти исключительные субгармонические решения ответвляются парами;
одно из этих решений устойчиво, другое неустойчиво.
§ Х.1. Биортогональное разложение решения и биортогональное
Рассмотрим эволюционное уравнение с Т-периодическими коэффициентами,
приведенное к локальной форме, как в (1.21). Фактически эта задача в
