Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 1. Задача состоит в нахождении Т-периодических векторов Г,
удовлетворяющих уравнению
Г-fa (t, ц | Г) + (po -\-qo) Г-{- В = 0, (X.26)f
где b(f)-*H(t + T) и <b(t), ?*(/)> = <В(^), g*(*)> = 0. Эта задача
допускает решения (класса Ск+г, если В принадлежит классу Сн), и
существует одно и только одно решение, такое что
<Г(0, 5*(0> = <Г(/), ё*(0> = 0. (Х.26),
Доказательство. Для доказательства леммы 1 сначала отметим, что
собственные значения оператора
-м-Н-(p°+q°), (Х.26),
лежащие вблизи чисто мнимой оси, суть
/1 \ - I . ... . 2k'nl
0(1- р)-qo + -y~, -po + (\-q)o-{-,
где k, k' ? Z. Остальные собственные значения оператора (Х.26), лежат
"далеко" от чисто мнимой оси. Нас интересует, когда нуль
является собственным значением оператора (Х.26), при р = 0, т.
е.
интересуют значения параметров, для которых
/.I \ I 2ferti п , , . , 2k'nt п
t<>)B(q+l-p)-{-f- = 0 или m0(q- 1- p)-f-y- = 0.
Случай 1. г = (о0Т/2п иррационально. При этом г (q 1-р)-= 0 тогда и
только тогда, когда p = q+\ и & = 0, а г (q-1-р)-\--\-k' = 0 тогда и
только тогда, когда q-\-\-p и k' - 0. Отсюда следует, что если рФу-\-J и
q=?l-\-p, то нуль не является собственным значением оператора (Х.26), в
критической точке, и оператор (Х.26), необратим при р = 0 и для р,
близких к 0.
Если р-1+q, то собственным вектором, который соответствует собственному
значению, близкому к нулю, является вектор ?(*)€ ?Рг, удовлетворяющий
уравнению -? + (t, р|?) - а также
уравнению
[-Ш + **У' 1*1 )-Ра-(р} 5 = [° 0 -p) - qo]l =
= - q (o-f о) ? = - 2ql (p) g, где |(0) = 0. Точно так же находим, что
если q=\+p, то
[- + ul)-Р°-<7°] ? =[- Р° + (1- Я)Щ = - 2pi(p)S-
202
ГЛАВА X
Отсюда следует, что когда г иррационально, то оператор (Х.26), обратим
для Г?Рг, если
[В, С*]г"[В, С*]Г=В,
где Г*, • ]г-скалярное'произведение, определенное формулой (IX. 16).
Требуемая ортогональность автоматически выполняется для векторов
В(0, для которых <В(0, ?* (0> = <В(<), ?*(/)> = 0 тождественно по t.
Случай 2. г - со0772л = т/п есть положительная рациональная дробь,
меньшая единицы, и л>3. Тогда нуль является собственным значением
оператора (Х.26), в критической точке для ft, ft', удовлетворяющих
условию
¦^(<7 + 1- p) + k = 0 или - 1- p)+ft' = 0.
Так как т и п не имеют общего делителя, то эти уравнения удовлетворяются
только в том случае, если существуют /, V ? Z, такие что р q -{- 1 In или
q = р + 1 1'п. Если не существует таких
значений I, V, то оператор (Х.26), необратим при р = 0 и для р, близких к
нулю.
Предположим теперь, что существует /, такое что р = q -f 1 In. Тогда q-р-
1-l'n - - 2-n(l-\-l') не может обратиться в нуль, потому что п ^ 3. Кроме
того, в критической точке (q -{- 1 -{- In) а -{-
-f qa = (l +ln) ico0, и собственным вектором оператора (Х.26), служит
?0е-2я<тЦ/г, где со0 = 2пт/пТ и
[-% + *•", 01)-(1 + In) цо0] g*-2*""/r = 0.
Легко проверить, что
[- Tt + h{t, р|) -(po-f <70)] 5в-*ж""/г_.
= [- 0>-1)о-+
- [- q (о + О) - 1по + Ъе- **"""/'т =
= [-2?(р)<7 + /
обращается в нуль при р = 0, и оператор (Х.26) обратим при р = 0 и вблизи
р = О, если
[В (0, S*(0e-'2"<m,//7']r = [B(0. С*(0в2я'т,</Пг-О,
где ?*-вектор, сопряженный к ?. Эти условия ортогональности автоматически
выполняются для векторов В (t), удовлетворяющих условию <В(7), ?*(0> -
<В(7), ?* (/)> тождественно по t.
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Отметим теперь, что всякое решение Г (()_=* Г (t Т) уравнения (Х.26)!,
для которого <В (t), ?* (*)>=* <В(/), ?*(/)> = О, определяется с
точностью до функций, принадлежащих нуль-пространству оператора (Х.26)3,
и является единственным среди функций Г, удовлетворяющих также условиям
<Г(0, 6*(0> = <Г(/), ?*(/)> = о.
В самом деле, если р близко к нулю, то
-^<Г, Е*> = [(р-1)о + о?]<Г, {*>,
-jt<T, Ё*> = Ьа + (<7-1)о]<Г, ?*>.
Единственными периодическими решениями этих уравнений являются
постоянные, и эти постоянные обращаются в нуль, если только не обращаются
в нуль коэффициенты в правой части. Читатель может проверить, что Ърч в
(Х.24) отличаются от Ър0 в (Х.18), членами, линейными относительно Tpq,
которые обращаются в нуль при проектировании.
Лемма 2. Задача состоит в нахождении Т-периодических функций у,
удовлетворяющих уравнению
y + [o(p-l)+^q]y + b = 0, (Х.27)
еде b-заданная Т-периодическая функция класса Сн.
1. Если (р-q-1)со0772л не является целым числом (положительным,
отрицательным или нулем), то задача имеет единственное решение у класса
Сн+1.
2. Если (р-q-1)со0772л=-/" есть целое число (положительное, отрицательное
или нуль), то гладкое по р решение существует только тогда, когда
коэффициент Фурье
т
bia=y^b(t)e~2*il>4T dt = 0. о
Кроме того, если потребовать, чтобы yia = 0, то гладкое по р решение
класса Ck+1 является единственным.
Доказательство. Положим
[у(/, р), b(t, p)] = 2[Yi(|*). Мр)]е2'л'"г
и найдем, что
[nr + (Р -1)° + 9°] Y< + ^='°> Р>(r), Ч> 0. P + Q> 2. (Х.28)
204
ГЛАВА X
Если [(р-1) a + <7<j] T/2in не является целым числом, то коэффициент при
