Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
радиус поперечного сечения тора, как на рис. Х.1:
. , 2 л , ,
def 1 г" def=
6"2я J Р(0. l*)de = P. (Х.58)
о
Уравнение для р{0, р) можно вывести из соотношения
ф ф dQ
dt dQ dt '
(X.59)
где d/dt и dQ/dt даются формулами (Х.56). Для того чтобы решить (Х.59),
разложим р и р по степеням е:
N
р = 2 p^ + Ote^1),
p=i
Р" 2 Рр (0) 6^ + О (еЛГ+1)"
p=i
(Х.60)
Рг = 1, Рр = о для р > 2.
Определение коэффициента при е2 в (Х.59) дает
ioM'iPi (0) = рЯр1 (0)- (Х.61)
Вычисляя среднее значение на (0, 2л), находим, что |0Рх "0;
следовательно, Рх=*0. Определение коэффициента при е3 в (Х.59) дает
Pi (0) [loPa + axoPi (0)] = Pi (0) [рЯ + PioPi2 (0)]- (X .62)
Вычисляя среднее значение от (Х.62) на (0, 2л), находим, что
1оРг + аюР3= 0- (Х.63)
Теперь нетрудно показать из (Х.62) и (Х.63), что любое периодическое
решение со средним значением 1 должно удовлетворять соотношению Pi+V =
рУр; для всех целых v ^ 0. Поэтому для любого целого р /5= 1
2л
ij|p,r<Je Ip,I*л-А
0 Jo
и поскольку рх-непрерывная функция, то
1/р 2я
214
ГЛАВА X
Поэтому р?"sup | pt (0)), т. е. | рх (0)| =* 1 и
Pi(0)sl, (Х.64)
Щ -(Х.65)
ЪО
На этом мы оставляем общий анализ. Дальнейшие результаты зависят
от значения п^б, для которого ЭД=1.
§ Х.7. Форма тора в случае п - 5
Предположим теперь, что ^=1. Определяя коэффициент при е* в (Х.59),
находим, что
io (№> + НаРа (0)) + За10р2 (0) + а010е'ш + aoioe~tie -
= р;(0)[|*Я + р1.]- (Х.66)
После вычисления среднего значения от (Х.66) находим, что С0р3 = 0;
следовательно,
Ра = 0, _ (Х.67)х
Р"(0) = ^5№ + йГ1е-5г0, (Х.67),
где g1-комплексная постоянная, удовлетворяющая уравнению
Si [2а10-5i (р2ю0 + р10)] + а010 - 0. (Х.68)
Из (Х.68) можно определить gu если коэффициент при отличен от нуля.
Поскольку из (Х.65) следует, что р2 = 0, если а10 = 0, то заключаем, что
(Х.68) можно разрешить относительно glt если не имеет места
исключительный -случай, когда а10 = р10 = 0. В этом исключительном случае
не должна происходить бифуркация в инвариантный тор. Мы не будем
рассматривать такие исключительные случаи.
Поступая как и выше, определим коэффициент при е5 в (Х.59) и найдем, что
1о [Р4 + P*Ps] + I1P2 + За10р2 + За10р3 -j- aupa +
+ а20 + 4р2 (ао1ое510 + a010e~6lB) =>
= Рз(Р2(r)о + Рю) + рИ2р1ор2 + Ро1о^''0 +Рохое_8Ш)- (Х.69) Среднее значение
от (Х.69) есть
loPi= (5iftPoio 5ig'ipoio) 4(a0i0^, -f- ot01((g'1)
Pali 6аю I §112 anPa а20> (X.70)
и из (Х.69) и (Х.70) находим
р3 (9) = ^lo,0 + i^-'1"(r),
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 215
где gt вычисляется как glt если а10 и Р10 не равны нулю одновременно.
Переходя затем к коэффициенту при е\ находим, что |0р5 + 2а1ор4 + Fselbie
+ Fte~ltie + F^ + F^-61'0 -
= P4(P,2(r)0+Pl")- (Х.71)
Следовательно,
Ре ==0"
Ps (6) -S,*ltia + g30e-ш0 + 831еш + gtle~ii9, (Х.72)
где gso и gat определяются из требования тождественного по 0 выполнения
(Х.71) после подстановки р4 и (Х.72), a Fs, F4 легко можно выразить через
известные коэффициенты.
В общем случае можно показать, используя метод математической индукции,
что
Ма/> + 1 = 0>
Qp _
Pp+i(0)= S w5(p~a,)?0+W5(2,_p)'0' (x-73)
Я> О
где Qp^ip -1)/2, если р нечетно, и Qp = {pl2)-1, если р четно. Все числа
gpq, подобно gt и gt, можно определить в результате отождествления.
§ Х.8. Траектории на торе при д = 5
Теперь перейдем к задаче нахождения траекторий на торе. В частности,
найдем 0 = 0 (t, е) как решение уравнения (Х.56)а. Для решения этой
задачи определим
N- 1
0 = 0+ 2 е%Д0) (Х.74)
и построим периодические функции Л, (0) =/1,(0+2л), средние значения
которых равны нулю, /iz = 0, так, чтобы 0 была равна
константе с точностью до членов порядка zN. Оказывается, что
эти
функции hl (0) являются (2я/5)-периодическими, т. е.
M0) = /i,(0+-^), ^=0. (Х.75)
Дифференциальное уравнение для 0 имеет вид
216
ГЛАВА X
где dQ/dt дается формулой (Х.56)а при п"5. После разложения правой части
(Х.56)а по степеням е
И' = И2еа + р4е4-|-рвев+ .. р (0) = е + егр2 (0) + е3р, (0) + е4р4 (0) +
(Х.77)
= Q0e2 + 04 (0) е3 + 02 (0) е4 + 03 (0) е3 + . .., (X .78)
находим, что dQ dt
где
Й0 = иЯ + Рю.
01 (6) - 2р1оР, (0) + ро1оез?0 + |W5'0,
02 (0) = Р4С00 + Pa^i + РгРи + 2Р10р3 (9) 4* Piopl (0) + Рго +
+ 3p2(0)(Peioe"i0+?eiee-6'0),
0" (0)= 2рюР2 (0) Рз (0) + 2рарпр, (0) -J- 4Рз0р2 (0) +
+ 3 [р22 (0) + р, (0)] [рО1О^0 + P"loe-3i0]+ + 2Р"Р4 (0) + [fW6i9 + Рио*-
ш] +
+ Рг [РоиебШ + Ро11е~6'0]
и т. д. Здесь и вообще
0!(^Ои121+1 = О, /> 1, (Х.79)
0"(в)-0|(е + (-^)). (Х.80)
Из уравнений (Х.77) и (Х.78) следует, что
^ = [ 1 -f еh[(Q) + e2/ia (0) + zsh'3 (0) + ... ] X
X [Q"es + 04 (0) e8 + 0g (0) e4 + (c)s (0) e3 + ...] + О (e^. (X.81)
Теперь для упрощения (X.81) будем строить периодические функции hi(Q)
Ме)-А,(е + (-х)). (х-82)
для которых
Й, = 0 (Х.83)
для всех I ^ 1 и такие, что
^ = e2Q(e2) + 0(е"), (Х.84)
где Q(e2)-полином, не зависящий от t и 0. Наш метод выбора со-
стоит в следующем. Сначала сгруппируем члены правой части (Х.81)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 217
