Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
точности совпадает с изученной в гл. IX, однако теперь нас интересует,
что случится, если не могут ответвляться пТ-периодические решения с п
=1,2,3,4. Мы проанализируем эту задачу
L 2. L Л з * з ' 4 ' 4 •
разложение уравнении
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 195
в духе гл. IX, используя метод степенных рядов и альтернативу Фредгольма
вместе с методом, который дважды применялся в дополнении Х.1 и более
непосредственно в дополнениях Х.2и Х.З. Однако мы предпочитаем начать с
анализа, опирающегося на совершенно другой метод, который содержит в себе
обобщение метода усреднения и позволяет редуцировать уравнения с Г-
периодическими коэффициентами к автономным уравнениям. Итак, запишем
(1.21) в несколько другом виде;
J = fB((,p|u)-|-N((,p,u), (Х.1)
где
N (t, (X, и) = f (t, р, и)-f0 (t, [А | и)
суть нелинейные члены и, естественно, и = 0 есть решение. Спектральная
задача для анализа устойчивости решения и = 0 описывается уравнением
(IX.8) и, поскольку мы исключили точки сильного резонанса,
которым соответствуют "=1,2,3,4, все множители Флоке
еа(и)г и все экспоненты а (ц), отвечающие критической точке, являются
комплексными.
Без ограничения общности можно положить
u = Zg+Zg + W, (Х.2)
где g = ?(p, *) = ?((а, T + t) есть собственная функция спектральной
задачи (IX.8). Для определения Z мы применим метод проектирования,
используя сопряженную собственную функцию ?*, удовлетворяющую задаче (IX.
14), и свойства ортогональности зависящего от времени скалярного
произведения <•,•>, которые устанавливаются в упр. Х.1.
Упражнение
Х.1. Предположим, что от-простое собственное значение оператора
57"Ии (О 9 1')
в пространстве Т-периодических вектор-функций. Пусть ?(•) есть
собственная функция, соответствующая a, a_?*(•)-собственная функция
сопряженного оператора, которая соответствует а. Покажите, что
<Б (0. Б* (/)> = const (не зависит от t);
<Б (0. Б* (0> = се<(7-(7) С-постоянная.
Докажите, что можно выбрать Б (О й Б* (0 так. что <Б(0. Б*(0>=1 и что
если а-о Ф 2knl/T, k?z, то <Б (0. Б*(0> = °-
Покажите, что это условие выполняется здесь для р, близких к 0 (проверьте
для р*=0 и наложите возмущение).
196
ГЛАВА X
Имеем
z=z(|i, o=<u(o, е*(0> (х.з)
<w (t), g* (/)> = 0. (X.4)
Вектор u всегда можно представить в виде (Х.2). Если, кроме того, и
является решением уравнения (Х.1), то назовем (Х.2) биортогональ-ным
разложением решения. Векторы и и W вещественные.
Для того чтобы получить биортогональное разложение уравнений, подставим
(Х.2) в (Х.1) и найдем, что
z?+zt+zg+zf+w =
=* Zf в (/, р | ?) +Zfa (t, р |?) + fB(*, p|W) + N(f, ix, u).
Используя уравнение (IX.8), которому удовлетворяет ?, находим, что
% + ZI + W = all + ~oZl + fB (t, p | W) + N (t, p, u). (X.5)
Образуем теперь скалярное произведение (Х.5) и ?* и используем (Х.4);
получим
<W, g*> = 4-<W> ?*>-<W,g*> = -<W, ?*>;
используя (IX. 14), находим далее
<[- W + fa (t, | W)], ?"> = <W, g* + f; (t, p | ?*)> =
= <rW, ag*> = 0.
Так как <?,?*> = 1 и <?, ?*> = 0, то находим, что
Z = o (р) Z + <N {t, р, u), ?*>. (Х.6)
Возвращаясь к (Х.5) и учитывая (Х.6), находим, что W = fB(f, р| W) + N(/,
р, u)-<N (t, р, и), ?*>?-<N(/, р, и), 1*>1.
(Х.7)
Уравнения (Х.2), (Х.6) и (Х.7) дают биортогональное разложение уравнений.
Для последующего анализа этих уравнений отметим, что если f (/, р, •)
имеет производные до порядка k-\-1 при и = 0, то справедливо разложение
N (t, р, u) = y fBB(/, р, 0|u|u) + |jfBBB(<, р, 0|u|u|u)+ ...
* • • + ТГ¦ ¦¦.•" (*> Iх. 0[цI Ц• • -|и) + О(IIи||*+1).
k раз k раз
Так как u = Z? + Zg-(-W, то N имеет вид
N (/, р, Z$ + Zt + W) = n0(t,V,Z,Z) + n1(t,li,Z,Z, W),
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 197
где
n0(*,p,Z,Z)=.N(f, р, Zl + Zl) = 0(\Z\*), nx (t, р, Z, Z, W) = О (| Z11W 1
+ 1W Is).
Отсюда следует, что (Х.6) и (Х.7) можно записать в виде
Z - oZ + b(t, p,Z,Z, W), (Х.8)
W = fe(*,p|W) + B(*,p,Z,Z,W), (X.9)
где
b(t,p, Z,1, W) = <n0 + ni, ?*>,
B(<, p, Z, Z, W) = n0 + n1 -<n04-n1, ?*>? -<n0 +nx, ?*> ?.
Г-периодичность b и В следует из Т-периодичности N {t, •, •) =
=*N(* + T, •, ¦), и вектор В ортогонален ?*.
Имеем следующие разложения-
b = be + blt В = В0 + ВХ, (Х.10)
где
def def
Ь0 = <Щ, ?_*>, &i = <n1,g*>,____
= no = Пх &i?.
Кроме того,
b0 = 6 (*, p, Z, Z, 0) - <n0, ?*> -
= 1 {Z2 <faa (f, p, 01 ? | ?), ?*> + 21Z |s <faa (f, p, 01 ? | ?), ?•> +
+ Zs<faa(/,p,0|?|?), ?*> + 0(|Z|=>) = S 2^bn(/,p), (X.ll)
P + ?> 2
где M*. V) = tp<l (t+T, p). Аналогично,
B" = В(/, p, Z,Z, 0) ="n0-fc0?-b0% = 2 ZrZ"Kp(l{t, p), (X. 12)
P + ?> 2
где B^ (/, p) = B/,4(t + T, p). Легко установить, что
Mf,p,z,z, w)=0(|Z|||wi+iwf),
Bx (<, p, Z, 2, W) = О (| Z | ll W14-1| W I2).
§ X.2. Замена переменных
Математики обычно любят делать замену переменных. Это подобно покупке
новой одежды; на самом деле вы не обязательно выглядите лучше в новой
одежде, однако вам кажется, что это так. Переменные, которые нам кажутся
предпочтительнее, суть
