Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 70

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 102 >> Следующая

но произвольного порядка.
Установим теперь вид функции р(0) и траекторий 0 (/) и покажем, что
приближенное решение
uе)?(р(М, t) + ZW)(t, е)?(р(М, 0 + W'^>(/, е) (Х.49)
является квазипериодическим с двумя частотами, если г - со0Г/2л, 0 < г <
1, иррационально. В этом случае находим, что рлг(0) = е есть постоянная,
не зависящая от 0. Чтобы показать это, рассмотрим приближение уравнения
(Х.40) с = 0 и найдем его стационарные решения, которые удовлетворяют
уравнению
2(7+1 "Л/
ц|(р) + S Re(a,(p)p2") = 0. (Х.50)
я> 1
Вообще говоря, удобно решать это уравнение относительно р, представляя
решение по степеням р2. Для стационарных решений положим р = е и разложим
левую часть (Х.50) по степеням е, предполагая, что ад (р) и |(р) можно
разложить по степеням р. После отождествления коэффициентов при
независимых степенях е находим, что р = р(Л0(е),
р<*> (е) = - ( -^ е>) + О (е') = pw> (-е), Г-t (Х.51)
Кроме того, в том же самом приближении, пренебрегая членом /?2,
находим, что решение уравнения (Х.41) имеет вид
0(^1 = е20(Лг) (е2) tу (Х.52)
где
2 q + KN
820(^1(82) _р(Л0(е)^[р(Л^)(8)]_|_ Im (д [pW> (8)] 82?). (Х.53)
ц>\
Прослеживая в обратном порядке замены переменных, находим, что
приближенное решение до N членов (N произвольное) уравнения (Х.1) имеет
вид (Х.49), где
Z{N) (t, е) = е exp [i (o)0 -f- e20'[N) (e2)) t\ -f
N
+ 2 VpqV, P(A0(8)) eS+"exp{i(p-<7) [<d0 + e20W) (e2)] t}, (X.54)x
p+e> 2
a
N
W<">(/, e)= 2 Г'pq(t, pw> (e)) еР+ч exp {(p-q) i [co0-f e20lAr> (e2)] t},
p+q> 2
(X.54)2
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 211
при этом р(ЛГ) (е) и Qim (е2) определяются формулами (Х.51) и (Х.53). Мы
утверждаем без доказательства, что решения на торе удовлетворяют оценкам
р, (е)-р(Л0 (е) = 0 (елг+*),
W(/, р)-Ww>(/, e) = 0(e^+1),
Z(t, e) = 0(e"+1),
6(р, 0-g(pw". 0 = 0 (е"+2),
где WW) и ?Ш) получаются из выражений (Х.54) в результате замены
е*б<Л0(е*)/ на 0(0, а
е(0_вФ*>(в*)/-х(<, в).
Эти оценки являются равномерными по t, даже если %(/, е) содержит вековые
члены, которые, подобно членам, линейным по t, неограниченны. Тем не
менее | % (t, е)| = 0(еЛГ). Все функции ?(р(Л0, t), y'pq (/, р(ЛГ)) и
Гр"(0 р(Л0) суть Т-периодические.
Теперь мы утверждаем, что вектор
uw"(0 = Wm(t1(0, т,(0), (Х.55)х
даваемый формулой (Х.49), представляет собой дважды периодическую вектор-
функцию, для которой
^(0-0 тг(0 = [со" + e*^(e")]/, (Х.55),
и что
^(Т*. т,) = ^>(т1 + Т, тг)-Ч1^(хи т, + 2л).
Поэтому говорят, что поток является асимптотически квазиперио-дическим с
двумя основными частотами
Отг л
ссо, = со0 + е201ЛГ) (е2).
Вторая частота является полиномом относительно е2, однако ряд для нее,
формально получаемый при N -+оо, вообще говоря, расходится. Пока не
существует прямого доказательства расходимости, но сходимость
противоречила бы некоторым немного экзотическим математическим теоремам,
которые выходят за рамки элементарной книги (см. G. Iooss, Bifurcation of
Maps and Applications (Amsterdam: North-Holland, 1979)). Отметим, что cUm
является квазиперио-дической вектор-функцией для таких значений е, для
которых Т/2л (со0 + e20(jV) (е2)) есть иррациональное число. В
рациональном случае она периодическая; однако строго доказано, что
линейная зависимость (Х.55), тх и т, от t, вообще говоря, не имеет места
для точного решения и (/) при всех значениях е.
212
ГЛАВА X
§ Х.6. Тор и траектории на торе, если со0772л -
рациональная точка более высокого порядка (п ^ 5)
Интересное явление состоит в том, что если существует п ^ 5, такое что
А?=1, то мы получаем некоторый тор, и решения на нем являются
асимптотически квазипериодическими. Поэтому основные физические
результаты, следующие из анализа бифуркации периодических решений,
качественно не зависят от того, является ли г рациональным или
иррациональным числом. Однако анализ для рационального случая является
более тонким, и формулы для тора и траекторией на нем получаются иными.
Предположим теперь, что г = т/п есть несократимая дробь и 5. Наша цель
состоит в определении приближения рл, (0) для поперечного сечения тора.
Уравнение, описывающее это приближение, можно получить, опустив и R2 в
(Х.40) и (Х.41):
2q+ 1 <N
pl + X aqP29 +
Q> 1
2q-\+kn<N
dp
37 = P
+z
fe>0
z
q> 0
(aqkelkn() + aqke-ikn0) p*"-*+*"
(X.56),
dQ_
dt
2q+\<N
= p(0 + XI P qp2q +
q> 1
+x
k>0
2<7- t +kti4?N
s
q> 0
(Pe*e,*ne +0>-"ne)p,"-,+*\ (X.56),
где все коэффициенты |, со, ая, pe, а(]к, \J>qk являются функциями р и
обладают желаемой степенью гладкости,
i(P) = io + pii+P2!2 + - • •. 1о > О,
со (р) = со0+ рсо, +ргю2 4- ...,
"а (Р) = "<?" + P"9i + Р2"в2 + • • •.
a9fc(P) = "fc9o + pa4si+P2"0ft2+.....
Ра (Р) - Ра о + РРв1 + Р2Р92 + • • •.
Рqk (Р) = Pqfeo PPijSi "Ь Р2Рqki 4~ • • •
и где по построению
"a+l'Ps = fla."'
def
*aft=2- (aq-uk + aq, -ft). aa-i,s = 0, если q = 0, (X.57)
= ~2f (aq-i,k aq, -*)•
бифуркация в асимптотически КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 213
Для решения уравнений (Х.56) введем амплитуду е, определяемую как средний
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed