Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 79

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 102 >> Следующая

отметим, что решение х(')€Р2я. Ме) и П(е) уравнения
(iQ- ро)х + = X. xlxl2,4e2?"a +
а> 1
+ ? X Ы29К, ,е'^х1 + ^9+* '-2 +
к > 0 q > О
+ ая, _keikns~ikn~'lt?<'+kn~i) (X. 153)
является аналитическим по е, если е мало; оно единственно и его можно
построить в виде степенных рядов:
X(s. e) = x"(s) + 8Xi(s) + e2x2(s)+ ...,
Йе) = р0 + ер,+е2р2+.. ., (Х.154)
Q (е) = + еП, е2й2 + . ..,
где коэффициенты рядов определяются из уравнений, которые получаются в
результате подстановки (Х.154) в (Х.152) и (Х.153) и приравнивая в левых
и правых частях получаемых уравнений коэффициентов при одинаковых
степенях е. Для упрощения записи будем предполагать, что о, at и а1к не
зависят от р. Находим, что

ijx.(s)ds=l, (X. 155)
О
(Ю0-М х0 + О, ^ = | Хо |aXo"L (X. 156)
БИФУРКАЦИЯ в АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 237
Поэтому %0 =* 1 и
1'П0 = р0ст + а1, (X. 157)
где, по предположению, потеря устойчивости решения и = 0 является строгой
(Re а Ф 0) и слабо резонансная субгармоническая бифуркация не имеет места
(Q0 ф 0). При этих предположениях уравнение (Х.157) можно разрешить
относительно р0 и 0".
Коэффициенты при е в (Х.152) и (Х.153) равны нулю, если

-1-J b(s)ds = 0, (X. 158)
о
(ifi, - Д,о) + (1Й0-po)x,+Q"^- = (Xi + 2x1)a1-f^r1, (Х.159) или,
используя (Х.157),
= (х 1 + % i)а 1 + gi - -М,
где
^i = ao,ПРИ п = 5, (Х.160),
g, = 0 при п > 5. (Х.160),
Следующие замечания поясняют процедуру, которая используется для решения
уравнений (Х.160) и (Х.161). Линейная задача
Qo-j[r - (y+'y)ai = г€Рая, (X. 162)
где #(s) имеет среднее значение, равное нулю,

2^-J g(s)ds = 0, (Х.163)
о
имеет единственное 2я-периодическое решение y(s) с равным нулю средним
значением. Если g (s) ? Р2я/л. то y(s) ? Р2л/я- Чтобы это доказать,
отметим, что
2Re(a,) (p + p) = 2Re?(s). (Х.164)
Так как уравнение (Х.164) не имеет 2я-периодических решений
(y + y)(s)> если g (s)= 0, и среднее значение Reg(s) равно нулю, то
его единственное решение y{s)-\-y(s) также имеет равное нулю среднее
значение. Тогда решение у уравнения (Х.162) определяется единственным
образом и имеет среднее значение, равное нулю.
238
ГЛАВА X
Возвращаясь теперь к уравнению (Х.160), мы можем построить функцию g=gx-
О'П, -,и,ст) с нулевым средним значением тогда и только тогда, когда [д.,
- - 0. Тогда если п = 5, то
%1(s) = Ae6is + Be~bJ*,
где
Д - а1а0, -1
"°o, -1 (5/Q0fli)
D ¦ *
5iQu (5i'Q" -|- cii)
Решения более высокого порядка представляются в виде полиномов от е±ы\
Уравнения для определения функций x"(s) Для 1 имеют вид
уравнения (Х.160). Значения и Qn получаем в результате такого
их выбора, для которого среднее значение функции Xi (s) равно нулю. Если
п > 5, то для 0^/^л-5 не существует неоднородных членов с нулевыми
средними значениями. Для этих значений / имеем X,(s) = 0, а первой
отличной от нуля функцией X;(s), / > 0, будет та, для которой / = л-4.
Построение в этом дополнении функции % (s, в) уже показывает, что % (s,
е) является 2я/л-периодической по s. Это уменьшение (от 2л) периода
происходит вследствие инвариантности решения
X (s, е) уравнения (Х.151) относительно переноса и поворота. Так
как решение х (•. 8) является единственным с точностью до сдвига
по s и поворота функции % на угол 2я/л, то существует ф, такое что
X(S + <P. s) = <я+ф>х (s-h ф, e) = eI'se2ra'''nx (s, e),
где
X ('. e)=l+eXi(-) + e*X*(-)+---------
Поэтому
el (s+ф) (1 ex! (s + ф) -f . . .} = ё (*+(2"/n)) j 1 -f- exx (s)
Следовательно, ф = 2л/л и
бифуркация в асимптотически квазипериодические РЕШЕНИЯ 239
Дополнение (Х.2). Прямое построение асимптотически
квазипериодических решений, ответвляющихся в иррациональных точках,
методом, включающим две временные переменные, степенные ряды и
альтернативу Фредгольма
Теперь мы будем решать уравнение (Х.1), когда отношение частот в
критической точке со07/2л выражается иррациональным числом. Будем искать
дважды периодическое решение u (t, s, е)
и( '> ', е)€Р7\ 2я> (X. 165)
являющееся Г-периодическим по t и 2я-периодическим по s и таким, что
def
s = co (&)t, co(0) = co0, u(f, s, 0) = 0.
Амплитуду e решения u определим проекцией (X.180). Сначала разложим
решение
u (t, s, e) OD up{t, s)
co(e)-co" _ V eP ~~ ^ ~pi 4
. И (e) - P= 1 P IV j
и отождествим коэффициенты при независимых степенях е. Чтобы упростить
запись уравнений, возникающих в результате определения коэффициентов
рядов (Х.166), отметим, что
р. (е) и (о (е) суть четные функции.
Это утверждение можно вновь доказать на основе используемого здесь метода
ценою более длинного, но не более трудного анализа (см. D. D. Joseph,
Remarks about bifurcation and stability of quasi-periodic solutions,
Nonlinear Problems in the Physical Sciences and Biology, Lecture Notes in
Mathematics, No. 322 (New York - Heidelberg- Berlin: Springer-Verlag,
1973)). При выводе уравнений для определения коэффициентов рядов (Х.166)
примем во внимание то обстоятельство, что наличие двух временных
переменных приводит к следующему правилу дифференцирования по t:
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed