Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Хопфа определяется знаком второго собственного значения у(р), которому
соответствует собственный вектор Г(-, р). Конечно, ТЫ = ТЫ = ° и Г (s,
р0) = Г (s, р0)==Г00. Производные от у(р) и Г(•, р) в критической точке
удовлетворяют уравнениям
Г1Г00 + а)1Г0. = /вГ, + ^Гм, (XI.31)i
Y2A0 + 2ухГ, +сй2Гоо + 2<в,Г1 = J0f2 + 2f (Гх) -фт (Г00), (X1.31 )3
где
def -n
m (roo) = FTO(^0. A! Al Ao) +АцЛ1Ч> AIAo) +
+ 2FnOT(p0, UolUjrj + F^JPo, U0f 0i | Uj JГ00)
и все функции от s являются 2я-периодическими. Производные нейтрального в
смысле устойчивости решения удовлетворяют уравнениям
wiAo = АА + ^А*>> (XI. 32)!
(r)гАо + 2ш1Г1 = /0Г2 2^А + m (Г00). (XI.32)a
Условие ортогональности (XI.30) для (XI.31) и (XI.32) с учетом (XI.28) и
(XI.29) приводит в первом порядке к уравнениям
Vi[Ао> Гоо]2я=[А, Гм]ая + [^Г00, Г^0]2я, (XI.33)
(r)1[Гоо, Ai]2n=[^Ao> Г01]2Я, (XI.34)
(r)i [Foot Г00]2л = [Гj, Г01]2я + [^г00, Г00]2Я. (XI.35)
Первые производные от Г (s, р) и Г (s, р) можно представить единственным
образом в виде следующих разложений!
A (S) = А 1Г"0 (s) + fltr01 (s) + X (S), (X1.36),
A (s)=ЛА" (s) + В,Г01 (S)+х (S), (X 1.36),
где [х, Г0*,]2я = [х, А7Ьл = 0 для / = 0,1. Из (XI.30, 33, 35, 36)
следует соотношение
у^А-АКА, ВДл-tA, r;j2". (Xi.37)
Чтобы завершить вывод условия строгого пересечения, нужно вычислить
постоянные в правой части соотношения (XI.37), исполь-
264
ГЛАВА XI
зуя условия разрешимости уравнений (X1.31)2 и (Х1.32)2. В качестве
предварительного шага этого вычисления выведем соотношение
J о (X-Х) - 0. (XI. 38)*
Чтобы вывести (Х1.38)1( вычтем (Х1.32)х из (Х1.31)х и найдем, что 70(ft -
Гг) = у1Г00. Затем, используя разложения (Х1.36)! и (Х1.36)2 и проводя
упрощения с использованием (XI.28) и (XI.37), получаем (XI.38)j. Из
уравнения (XI.38)* и единственности разложения следует, что
Х = Х- (Х.38)2
Теперь умножим скалярно обе части уравнений (Х1.31)а и (Х1.32)2 на и в
получаемых двух уравнениях исключим общие члены. Записывая условия
биортогональности, получаем уравнение
2уД + 2coj [(fj-1\), Г01]2Л-2 (Гх-Г*), Г^1Я. (XI.39)
С учетом (XI.36, 38, 32) это уравнение приводится к виду
тД + Д-яоЫГох. гу1я-[^(гв1), г;]!я}=0. (XI.40)
Теперь из (XI.37) следует, что
^1 [Г<11> Гм^Я---(I^Ol)) Го1]2Я = 0, (XI.41)
если В1фВ1. Случай = можно исключить, поскольку при этом решение у, = 0
соответствует нейтральной ветви. Комбинируя (XI.37) и (XI.41), находим,
что
Yi = - Го1]2я + [^ (Г01), Г01]2Я-Ви
где
5х = [Г1, Го1]гя можно представить в форме
я, = [и, г0\]2я,
потому что Г(., р) = U(•, и). Под строгой потерей устойчивости здесь
понимается следующее условие:
0 <С Yi = [^Г01 (r)Д)и Го1]гя [0*, Г01]2Л, (XI.42)
где с учетом (XI.35)
[0i, Го1]2я = [^Гоо - Их^оо" Г'ооЗгя-
Условие (XI.42) имеет место не только для рассматриваемого сейчас случая
собственного значения с индексом два, но также для
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 265
случая полупростого собственного значения, изученного в § XI.6. В случае
полупростого собственного значения второй член в (XI.42) обращается в
нуль вследствие (XI.25).
§ XI.8. Постановка задачи о субгармонической бифуркации периодических
решений автономных задач
В постановке задачи о субгармонической бифуркации решения Хопфа (XI.3)
удобно отобразить периоды решения Хопфа и субгармонического
бифуркационного решения на одну и ту же фиксированную область. Чтобы
объяснить важность этой процедуры, отметим, что решение Хопфа (XI.3)
имеет вид
V = U(s, р) = U (s-|-2n, р), s = co(p)i,
и мы ищем субгармоническое решение уравнения (XI.2) вида
V = ip(s, p) = Tj>(s-|-2nn, р), s = Q(p)/,
которое является строго 2лл-периодическим (п ? N) относительно
приведенной переменной s и таким, что
U0(s)=U(s, р0) = ф(5, р0),
где
(r) (Ро) = (r)0 = Q (р") = О0-Будет показано, что вообще говоря, co(p)^=Q(p),
так что функция ip(s, р) = ф (Q(p) t, р) обычно не является (2я"/ю (р))-
периодической по t. Функция U (s, р)= U (s + 2n, р) и ю(р) имеют вид
(XI.3), а функции ij>(s, р) = ф(5 + 2лл, р) и Q(p) удовлетворяют
уравнению
6(H) = I*))- (XI.43)
Разность
Y (s, p) = U(s, р)-tJ>(s, р) = Y (s + 2nn, р) (XI.44)
представляет собой функцию, 2лл-периодическую по s, несмотря на то, что
функции, определяющие эту разность,
0(ш(р)/, р) и ф(&(р)/, р), имеют разные периоды по t.
В автономных задачах отношение периода Т (Q) бифуркационного
субгармонического решения к периоду Т (со) рассматриваемого
периодического решения есть
Т (&) па (р) ~, л / ч
Поэтому в общем случае Т (Q) не равно пТ (со).
266
ГЛАВА XI
§ XI.9. Амплитуда бифуркационного решения
Амплитуду бифуркационного решения можно определить при помощи любого
хорошего линейного функционала от разности Y (s, р). Наш выбор такого
функционала в точности совпадает с тем, который был использован при
изучении бифуркации нетривиальных Т-периодических решений в § IX. 10, т.
е.
a(a) = [Y (s, р), Ъ\(s)]2"n, (XI.45)j
где Z*(s) = Z* (s-j-2n/t) дается формулами (XI.15) и (XI.16). При этом
