Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
и Z, = Za. В этом случае собственные векторы удовлетворяют усло-
виям биортогональности
[Zj, ZmJzjw - &lm> Ш = 0, 1, 2.
260
ГЛАВА XI
§ XI.5. Строгая потеря устойчивости в простом собственном значении
оператора /0
Во всех изученных нами задачах бифуркации из условия строгой потери
устойчивости следовало существование двойной точки бифуркации. Условия
того же самого типа или условия строгого пересечения будет достаточно,
чтобы гарантировать существование субгармонической бифуркации (2я/ш (р))-
периодических решений.
В настоящем выводе формул, выражающих строгое пересечение, предполагаем,
что yu = гг|0 = i (т/п) со0 является простым собственным значением
оператора У0. Это предположение типично, если пф\\ если л=1, то т = 0 и
у0 = 0-двойное собственное значение оператора J0. Строгое пересечение
означает, что собственное значение у (р) = | (р)-f- 1у] (р), вещественная
часть которого изменяет знак при р = р0, удовлетворяет неравенству
def
In (М-о) = Re Ун (р") = Re у, = ?, > 0.
Уравнение для у* можно получить в результате дифференцирования (XI.5) по
р при p = p0i
YiRo + (r)i Ro + YoRi = <Л>Г,1 + ri (s) = ri (s + 2n), (XI.17),
где
34-) = Fw(p0, Ы01 0, i-)H-F^(p0, U.I-). (XI. 17),
Уравнение (XI. 17) разрешимо относительно r,(s), если члены, содержащие
Г0, ортогональны собственным векторам задачи
(Л*-То) г; = о, r;(S) = f;(s + 2n),
где
/;=(r)0|+f;(р0, uj-).
Поскольку у0 есть простое собственное значение оператора /0, то
существует один собственный вектор Г0, соответствующий у", и один
собственный вектор Г0, соответствующий у0. Аналогично, Г* соответствует
собственному значению у0, а Г"-собственному значению Уо. и
[Г., Г*]2Я-1=[Г0, Г0*] = 0. (XI. 18)
Уравнение (XI. 17) разрешимо, если неоднородные члены ортогональны
вектору Г*:
Yi+?°i[Ro. г;]2я.
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 261
Вспоминая, что Z1 = ef('n/n)sro, ZJ = ef(m/ra)srj, вычисляем
и находим, что
(7l-^[zlt z;]tnn=\?zlf zГ]2ЯЛ. (Xi.19)
Уравнение (XI.19) применимо, если пф 1. Если п = 2, то т/п = 1/2, векторы
Zt и Zl вещественные, а
Пусть теперь у0 -0-алгебраически двойное, полупростое, двойное
собственное значение оператора Тогда существуют две независимые
собственные функции roo=U0(s) и Г01, удовлетворяющая уравнению /0Г01 = 0,
и две независимые сопряженные собственные функции Гоо и Го!, такие что
Каждый собственный вектор, принадлежащий нуль-пространству оператора /0,
можно представить в виде линейной комбинации независимых векторов
Чтобы вычислить yt в (XI. 17), необходимо определить А и В. Значения А и
В можно найти из условий биортогональности, требуемых для разрешимости
задачи (XI. 17).
Используя (XI.23), уравнение (XI. 17) можно записать в виде
?i (^Г00 + ВГ01) -f coj (ЛГв0 + ВГ01) = / о^лА-f (ЛГ00-|- ВГ1П). (X 1.24)
Существует особое решение уравнения (Х1.24), которое можно получить в
результате дифференцирования [уравнения (XI.5) по р при р = р0. Это
приводит к уравнению (XI.24) с у1 = В = 0 и /4 = 1. Тогда получаемое
уравнение
(XI.20)
Можно показать, что т]г = сог/2.
§ XI.6. Строгая потеря устойчивости в двойном
полупростом собственном значении оператора /0
(XI.21) (XI.22)
Г0 = ЛГ0(1 + ВГ01
(XI.23)
(r)il\0 = + ?Г00
262
ГЛАВА XI
разрешимо, если
fflilAo. Го/]2я = [^Г00, r"*(]2n, / = 0,1, (XI.25)
и, используя (XI.25), находим, что уравнение (XI.24) разрешимо, если ух
является собственным значением матрицы
Собственными значениями этой матрицы являются 7^ = 0 и
В настоящем случае из предположения о том, что потеря устойчивости
является строгой, следует, что у(,2) > 0. Заметим, что в рассматриваемом
здесь случае двойного полупростого собственного значения потере
устойчивости решения Хопфа, изученного в § VIII.4, отвечают следующие
частные значения:
XI.7. Строгая потеря устойчивости в двойном собственном значении с
индексом два1)
В двойном собственном значении с индексом два имеются две ветви
собственных значений: у (р) с собственной функцией Г (р) и
что у (р0) = у (ро) = 0 и Г0 = Г0= Ua(s). Другими словами, у = 0 является
двойным собственным значением оператора J0, однако существует только один
собственный вектор U0, принадлежащий нуль-пространству оператора /0.
Отправляясь от точки вырождения, будем искать разделяющиеся собственные
значения при возмущении параметра р. В действительности нам известно, что
одно из собственных значений у(р) = 0 для р, близких к р0, а от другого
собственного значения, которое является гладким по р, зависит характер
устойчивости.
В критической точке у(р0) = 'уо = 0,
0 [^^oi сохГ01, Г00]2Я
.0 [?г01 - C0jrol,
(XI.26)
(XI.27)
- L^^oo" Г00]2Л-[^Гоо, Г'огЗгл - 0.
у(р) с собственной функцией Г(р), которые сходятся при р = р" так,
(XI. 29) (XI.30),
(XI.28)
1) См. § IV.4.4.2.
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 263
И
[Г01, Ао]ал *= [Г оо" AiJan^O. (Х1,30)а
Можно показать, что ветвь
Г(s, р) = U (s, р), у (р) = 0
является нейтральной в смысле устойчивости. Тогда устойчивость решения
