Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
р(е), ю(е)} и {u(s, е), ц(е), со(е)} эквивалентны при переносе на 8
начала отсчета времени. Назовем б фазой бифуркационного решения. Разность
двух бифуркационных решений
0(s, е, 8) = u (s + 8, е)-u(s, е) удовлетворяет уравнению
co(e)0 = f (р(е), u (s-f-б, е)) - f (p. (е), u(s, е))=*
-*•(!*("). u(s, е) 10) +О (10||а)
и при 8 -> О
0(s, е, б) ~ u (s, е)б.
1) Здесь л то же самое, что и в гл. IX.
254
ГЛАВА XI
Поэтому всегда можно избрать другой путь и, отправляясь от u(s, е),
построить "бифуркационное" решение u(s + 6, е), считая, что у(е)=0
является алгебраически простым собственным значением оператора Л(е) с
собственным вектором u(s, е). При исследовании чисто бифуркационных задач
необходимо избегать вычислений этих фазовых сдвигов, и в математическом
отношении это мы делаем, требуя, чтобы чисто субгармонические
бифуркационные решения отличались от фазовых сдвигов решения u(s, е).
Математически это выражается условием (XI.48), смысл которого становится
понятным после построения бифуркации на основе нашего метода.
Обозначения
В этой главе обозначения имеют много общего с обозначениями гл. IX.
Некоторые незначительные отличия связаны с определениями
со (p.) t = s (см. § XI.1),
Q(p) / = s (см. § XI.8),
которые требуются для вычисления частот со и Q. Некоторые символы,
которые были также использованы в гл. IX, а здесь имеют несколько другой
смысл, суть
J0 и в § XI.2,
Л и Л* в § XI.4.
Амплитуда а бифуркационного решения определяется по формуле (XI. 45).
/ л д"(-)
(-)"= фд при р==ро>
п=%*г ПРИ а = 0-(и.ч.б.н. п.) = известные члены более низкого порядка.
§ XI. 1. Спектральные задачи
В нашем анализе вторичной бифуркации периодических решений автономных
задач мы, по возможности, избегаем представления о том, что в некоторой
точке бифуркации одно решение является основным, а другое второстепенным.
По этой причине в основу нашего исследования мы не кладем эволюционное
уравнение в локальной форме; вместо этого попытаемся охарактеризовать
решение автономной задачи
d\
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 255
где предполагается, что F (•, •) обладает требуемой степенью
гладкости и F (р, 0) не обязательно равно нулю. Мы будем
изучать
бифуркацию периодических решений уравнения (XI.1). Эти решения имеют вид
V = U (со (р) t, р) = 0 (s, p) = L)(s + 2n, р), (XI.3)
где со(р)-частота. Например,
С (s, p) = U(p) + u(s, р)
может быть решением Хопфа гл. VIII: u(s, p) = u(s, е), со(р) = со(е),
если р = р(е). Это решение удовлетворяет уравнению
(r)(Р)-^- = ^0*. Ь). (Х14)
Отметим, что решение (XI.3) параметризировано посредством р, а не е.
Теперь наша цель-найти условия, при выполнении которых от решения (XI.3)
ответвляются субгармонические решения. Чтобы изучить бифуркацию, нам
нужно исследовать спектральную задачу, связанную с линейной теорией
устойчивости решения (XI.3). Эта задача, приведенная к локальной форме,
была рассмотрена в § VIII.4. Однако теперь нам нужно более глубоко
изучить эту спектральную задачу и, в частности, нужно вывести такие
формулы для строгой потери устойчивости решения Хопфа (X 1.3), которые
гарантировали бы существование бифуркации (см. § 11.9).
Чтобы получить спектральную задачу, линеаризуем уравнение (XI.2) вблизи
решения (XI.3):
V= 0 (s, f*)-fv(*), s = a>(n)t,
где
^ = Fa(p, Cl (s, p) | v).
Тогда из теории Флоке следует, что заключение об устойчивости решения
U(s, р) можно сделать из анализа экспонент v(p) = ?(p)+ + /т] (р) в
представлении
v(0 = evT(s), r(s) = T(s+2n).
Эти экспоненты являются собственными значениями спектральной задачи
Yr = -"(p)f + F"(P, 0 (s, р) |Г). (XI.5)
Мы имеем также сопряженную задачу на собственные значения
^•-(c)M^T+F.'Gi, 0(8,р)|Г*), (XI.6)
256
ГЛАВА XI
отвечающую скалярному произведению
2Я
[•" '12л = 2зх J ^
о
где Fj (р, U (s, р) | ) представляет собой единственный линейный
оператор, удовлетворяющий соотношению
<F" (р, С (s, р) | a), b> = <а, F* (р, 0 (s, р) | Ь)>
для любых векторов а и Ь. Напомним, что для векторов из О <а, b> = ab.
§ XI.2. Критическая точка и рациональные точки
В критической точке р = р0
def л def
1(Ро) = °. Л (н-о) - Ло. = (XI. 7)
л def
и (S, Po)=H0(s),
Z.=-CD"| +F" (Ро, u0(s)| ),
J' = <*oi + Fl&o, Ue(s)|-),
где операторы J0 и У0* действуют на 2п-периодические функции от s.
Спектральные задачи в критической точке суть
^Ло^о ~ J (Fo* (Х1.8)!
-ВД* = /.Т0\ (XI.8),
Если экспонента Флоке i't]0 представляет собой собственное значение
оператора J0 в критической точке, то i (rj0-f-/co0), IС Z, также является
собственным значением с собственным вектором Г(s) = e_l7sro (s)= = f(s +
2n). Множитель Флоке в критической точке
Х0 = ехр [у (р0) Т (р0)] = ехр ^±^>2л = ехр ((X1.9)
отображает повторяющиеся точки на мнимой оси комплексной у-плос-кости в
единственные точки комплексной ^.-плоскости. Можно получить единичную
окружность на X-плоскости, ограничив наше рассмотрение главной ветвью
°<S<1 (XI.10)
комплексной у-плоскости.
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 257
