Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Будем говорить, что отношение
32 = -, (XI.11)
<00 п ' к г
удовлетворяющее неравенству (XI. 10), принадлежит множеству рациональных
точек, если тип суть целые числа и т = 0, если п = 1; в противном случае
тф 0. Множитель Флоке в критической точке является корнем п-й степени из
единицы, если r\Jw0 = m/n - рациональная точка:
X,"=(e2m-m/")n= I. (XI. 12)
§ XI.3. Предположения о спектре оператора /"
Самые простые и наиболее типичные ситуации, приводящие к субгармонической
бифуркации в самовозбуждаемые решения автономных задач, аналогичны
ситуациям, приводящим к субгармоническим бифуркациям нетривиальных Г-
периодических задач, которые были описаны в гл. IX. Однако в автономном
случае необходимо учитывать то обстоятельство, что Г=0 (s, р)
удовлетворяет задаче (XI.5) для всех р всякий раз, когда у(р) = 0. В
последней теореме, доказанной в § VIII.4, было показано, что у(р) = 0 не
может быть алгебраически простым собственным значением.
Поэтому наиболее простые предположения о собственных значениях у (Ро) =
Ща оператора J" можно сформулировать следующим образом:
I. it]o = 0 есть изолированное двойное собственное значение оператора
/0;
II. ip0 = 0 есть изолированное простое собственное значение оператора J0.
Если предположить, что r\0/w0 = m/n, тф0, то задачи (XI.8> принимают вид
^Г0^У0Г0, (XI. 13),
^r;s;;r;. (Xi.i3)2
Тогда решение v(t) линеаризированной задачи (XI.5) в критической точке
дается формулой
def
V (t) = 6У <•*") Т0 (s) = е' wv а.<Г0 (s) = е' Т0 (s) = Z (s) = Z (s
+ 2л).
(XI. 14)
258
ГЛАВА XI
§ XI.4. Предположения о спектре оператора Л в критической точке
Вектор Z(s) удовлетворяет уравнению J]Z = 0, где
- линейный оператор, действующий на 2лл-периодические функции
def
от s, n?N, a U0 (s)= U (s, р0). Линейный оператор
Л*=Ио|- + Р^о. Uo(sl-)
является сопряженным по отношению к оператору Л относительно скалярного
произведения [•, -]аяп" т. е. [Ла, Ь] = [а, Л*Ь]2Ял для произвольных 2яп-
периодических векторов a(s) и b (s).
При выполнении условия (I) или (II) относительно J0 существует, по
крайней мере, 2лп-периодическая вещественная собственная функция
Z0(s) = 1)0(s) = Z0(s + 2ji). (XI. 15)!
Если т)0 0, или если у (р0) = 0 представляет собой геометрически
двойное собственное значение, то собственный вектор
Zj (s) = el <ш/"> sro (s) = Zt (s + 2nn) (X1.15)2
соответствует нулевому собственному значению оператора Л, т. е.
лг0 = иг = о. Если Z1(s)-комплексный вектор, то
Z2 (s) = Z1 (s) (XI. 15),
также является собственной функцией оператора Л, соответствующей нулевому
собственному значению. Соображения, приведенные в § IX.7 и § IX.8,
приложимы и здесь. Вектор Zx(s) можно считать вещественным, если таковым
является множитель Х0, т. е. когда
или
Во всех других случаях есть комплексное число.
В § IX.8 была приведена лемма, относящаяся к оператору Л для
нетривиальной Г-периодической задачи. Теперь мы хотим сформулировать
соответствующую лемму для автономной задачи. Эта лемма дает объяснение
тому факту, что в автономной задаче вектор u"=z0 всегда принадлежит нуль-
пространству оператора Л, ЛZ0=0.
Пусть выполняется условие (I) или (II) относительно Собственного значения
оператора /0. Тогда имеют место следующие случаи.
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 259
(а) п = 1 и нуль есть двойное (полупростое) с индексом один собственное
значение оператора Л = В этом случае можно найти 2л-периодические
векторы, удовлетворяющие следующим уравнениям:
Zo (S) = (s) = г00 (s), Z0 = Г00 (s),
Z,(s) = r01(s), Z,*(s) = r;,(s), (XI. 15)ф
так что J)Z, = J1*Z,* = О,
[Z" Z-m]2n = 8lm, I, т= 1,2. (XI. 16),
При выполнении условий случая (а) потеря устойчивости решения Щ-, р)
носит до некоторой степени особый характер. Например, в случае бифуркации
Хопфа, изученной в § VII 1.4, случай (а) не может иметь места, если не
выполняется равенство сО|х(р0) = 0 и если не реализуются некоторые
дополнительные условия (указанные после формулы (XI.27)).
(б) п= 1, нуль есть (не полупростое) с индексом два собственное значение
оператора S = J0 с одним правильным собственным вектором Z(1 = roo, одним
обобщенным собственным вектором Z, = rol, соответствующим правильному
сопряженному собственному вектору Z, = r",, и с обобщенным сопряженным
собственным вектором Z0* = r0'0, удовлетворяющим задаче (XI.29) и
(XI.30).
В § VIII.4 были даны некоторые достаточные условия реализуемости случая
(б), если со,, (р0) =? 0.
(в) п = 2, нуль есть полупростое двойное собственное значение оператора Л
с двумя вещественными 4л-периодическими собственными векторами
Z0(s) = U0(s) = Z0(s + 2jt), (XI. 16)2
Z, (s) = ё(5/2)Г0 (s) = Z, (s) = Z, (s + 4л), (X1.16)"
удовлетворяющими условиям (XI. 16),.
(г) n > 2, нуль есть полупростое тройное собственное значение оператора Л
с одним вещественным 2л-периодическим собственным вектором Z0 (s) = U (s)
и двумя комплексными 2лп-периодическими собственными векторами
Zi (s) = ёмп) 5Го (s)) Го {s) = Г0 (s-f- 2л), (X 1.16)*
