Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Mp|iO = g (VI. 123)
не имеет единственного решения (см. § VI.8 о преобразовании Лапласа для
более полного объяснения). В данном случае мы имеем
Л
aV (х) + (1 -p)V(x)-J (sin х sin у + b sin 2х sin 2у) V {у) dy = F (х).
о
(VI. 124)
Следовательно, F (•) в (VI. 124) представляет собой то же самое, что и g
в (VI. 123).
Чтобы решить (VI. 124), представим F и V в виде
(VI. 125)
F (х) = Ft sin х + Ft sin 2x -f- Fa (x),
V (x) = Vj sinx-f Va sin 2x-f V3(x), где
Я Я
J Vg (x) sin x dx = J Vs(x)sin2xdx = 0. (VI. 126)
о о
Функция F3(x) удовлетворяет условиям, получаемым из (VI. 126) при замене
Vs(x) на Fs(x). Комбинируя (VI. 124) и (VI. 125), вычисляем
(<х+ 1-Р) V3 (х) = F3 (х),
(a-^V^Fu (VI. 127)
(а -f- 1 -р-b) Vt = Fg.
Очевидно, что спектр fB (р I*) целиком состоит из собственных значений
ао(р) = Ц. ai(p) = p-H- 1, о2(р) = р-Ь (VI. 128)
118
ГЛАВА VI
Можно получить (VI. 128) непосредственно из решения уравнения (VI. 122),
которое для рассматриваемой задачи имеет вид (VI. 124) с F (х) =* 0.
Поскольку 0 < 6 < 1, то наибольшим из значений (VI. 128) является с0(р).
Отсюда следует, что решение U - 0 уравнения (VI. 120) устойчиво, если р <
0, и неустойчиво, если р > 0. Более того, имеет место альтернатива
Фредгольма. Рассмотрим задачу
fa (0И = ?-
Мы знаем, что а"(0) = 0-собственное значение /а(0|-) и разложение (VI.
128) приводится к виду
- Va (х) = Fs (х),
0 <VU29>
Поэтому если ЬФ 1, то условие совместимости для разрешимости (VI. 129)
есть F1 = 0; это приводит к условию
Л
J Z7 (х) sin xdx = 0. (VI. 130)j
о
Если b = 1, то с0 (0) = Cj (0) = 0-двойное собственное значение fB(01-),
и, в дополнение к (VI.130), необходимо, чтобы
Л
J F (х) sin 2xdx = 0. (VI. 130)2
о
Несмотря на то что задача (VI. 120) поставлена не в контексте
гильбертовых пространств, которые были использованы при изложении общей
теории этой главы, альтернатива Фредгольма здесь работает хорошо, и мы
можем вычислить бифуркационные стационарные решения с помощью разложения
по степеням амплитуды е:
U (х, е) = sU1 (х) + e2f/2 (х) + e3f/s (х) + О (е4), р = ер1 +
е2р2+0(е3),
где
Л
W = J {sin х siny + bsin 2х sin 2у} иг (у) dy,
0
Л 2 п
-p,t/, (х) + иг (х) = - j {sinxsinу + frsin2xsin2i/} U2 (y)dy,
о
-\i2U1 (x)-Pi(/2 (x) + Ua (x) =
Л
= J {sin x siny + b sin 2x sin 2y) (U3 {y) + U\{y)) dy.
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
119
Находим, что
U (х, e) = esinx-f 0(е3),
3 2 , л, 34 (VI. 131)
f= -4 е2 + 0(е3).
Бифуркационное решение является односторонним и субкритическим;
следовательно, оно неустойчиво.
Бифуркационная задача, ассоциированная с (VI. 120), имеет специфические
особенности, которые дают возможность точного вычисления всех
бифуркационных ветвей. Сначала заметим, что для всех стационарных решений
(VI. 120) имеет место U (х) = 0 для х = 0 и х = л. Поэтому мы можем
разложить U (х) в ряд Фурье по синусам и найдем, что все коэффициенты
Фурье, за исключением первых двух, равны нулю. Поэтому
U (х) = и, sin х -f и2 sin 2х,
и (VI. 120) приводит к соотношениям
3 3
fUj-f TU?+2-и1и| = 0,
(р-f b- 1) u2 + ~bulu2 +jbu32 = 0.
Решения (VI. 132) суть:
и1 = и2 - 0 (нулевое решение),
и1 = ±-^=У-р, ы2 = 0 (решение (VI. 131)), V з
(VI. 132)
"! = 0, ыа = ±(2/КЗ) V - (p-f b-1)/Ь,
2 4 Q
/1 Vi о! 2 4 Гр-1 ,i о 1 (VI. 133)
(1- р) + р-2J , и\= д- С__+1_ 2pj.
Упражнение
VI.I. Покажите, что вторичное бифуркационное решение ответвляется от (VI.
133)х при |л = (6 - 1)/(2?>-1), если Ь> 1/2.
Пример VI.2 (Бифуркация решений уравнений с частными производными).
Рассмотрим следующее уравнение с частными производными:
ди д2и' , WTI ди , лт,ди , диV _ 10,ч
dt ^ Wdx+U ^ дх + 4^( дх ) ' (VI-134),
где U-вещественная функция, определенная для 0, 0^х<л, и удовлетворяющая
граничным условиям
u(t. 0) = ^L(t, п) = 0. (VI. 134),
120
ГЛАВА VI
В этом примере возьмем H - L2(0, л) - пространство функций, интегрируемых
с квадратом на (0, л), которое является гильбертовым пространством со
скалярным произведением
Л
<u(0, v(0> = Jt/(0 x)V(t, x)dx,
о
где u(t)=U(t, •) - вектор с разными компонентами и(0(х) для каждого х.
Далее мы будем опускать переменную t.
Уравнения (VI. 134) имеют в Н следующий вид:
-g- = fa(p|u) + B(u, u) + C(u, u, u), (VI. 135)
где операторы fa(p|-)> В и С определены для u = I/() в подпространстве Н,
состоящем из U (¦), удовлетворяющих граничным условиям U (0) = dU (п)/дх
= 0 и таких, что U, dU/dx и d2U/dx2 квадратично интегрируемы на (0, л);
например, <dU/dx, dU/dxy <оо. Для более полного определения операторов,
входящих в (VI. 135), отметим, что
UM-) = fa (0|-)+m-W (01),
[fa(0|u)J (x) = (tm)to+lTU{x),
[fa"(0|u )](X) = -±U(X)+Xd-^,
[B (u, v)] (x) = -U (x) V (x) + 2U (x) ^ + 2V (x)
rn, \-i / , 4 L.dVdW . ,wdUdV , wdWdU\
[C(U, v, w)](x) = -3 + +
Для исследования устойчивости нулевого решения (VI. 134) сначала заметим,
что спектр fa(p|) состоит только из собственных значений а,
удовлетворяющих краевой задаче
п дЮ , 1 ,, . ( 1 ,, . ди\
aU~dx^ + TU + ii[~T и + хШ)'
