Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 41

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 102 >> Следующая

ди (VL136) t/(0) = ^(n) = 0
для дважды непрерывно дифференцируемых функций U, не равных тождественно
нулю. Аналитическое вычисление собственных значений задачи (VI. 136)
очень трудно, за исключением случая, когда р = 0; собственные значения
оператора А0 (отвечающего (VI. 136) при р = 0) суть
= ¦ где
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
121
а ассоциированные собственные векторы пропорциональны sin((2fe+ 1)/2) х.
Нуль является собственным значением fa(0|) для & = 0; другие собственные
значения отрицательные.
Критическое собственное значение оператора fa(p|-) для значений р,
.близких к нулю, можно получить на основе метода возмущений. Находим, что
def
где ?(х) и ?,*(х) пропорциональны, потому что fa (01-) = f* (0 | ) = =
[fa (0 1 -)]*. Тогда, поскольку
Следовательно, нулевое решение устойчиво, если р < 0, и неустойчиво, если
р > 0.
Непосредственно следуя методам, использованным в § VI.2 для построения
стационарных бифуркационных решений в виде рядов по степеням амплитуды,
положим
Из (VI. 137) и (VI. 135) после отождествления членов при одинаковых
степенях е находим уравнения для коэффициентов рядов Тейлора. В настоящем
примере эти уравнения можно записать в виде
fa (0 |u") + np"_ifUn (0| ut) + члены более низкого порядка = 0.
Из уравнения (VI. 138) следует, что 1^ = 5 (см. (VI.7) и (VI. 11)).
Поэтому
сг(р) = ?' (0) р + О (р2),
П0) = <и(0|?), ?•>,
имеем
? (х) = sin -j , ?*(x) = -|sin^-,
<?, ?•>=¦!, 6'(0)=4>0.
(VI. 137)
К (0|и1) = 0,
К (о I и2) + 2ц^и11 (0 I Ui) + 2В (щ, Uj) = 0,
К (0 I Чз) + Зр^ц (01 u2) + 6В (ux, u2) +
+ 3p2fail (0 | + 6С (Uj, Ul, их) = 0,
(VI. 138)
6М*) = sin-|.
Далее вычисляем условие разрешимости для (VI.138)2: И-х <f"n (О I ui).
?*> = -<B(U!, ux), ?*> =
122
ГЛАВА VI
Поскольку <fa" (0 |g), ?*> = ?'(0)= 1/4, то = 0 и
f"(0|u,)-----2B(g, g), <u2, ?*> = 0. (VI.139)
Уравнение (VI.139) эквивалентно уравнениям
?/? + ^-?/a = 1 -cosx-2 sin at,
t/.(0) = t/;(n), (VI. 140)
71
0 = J Ut (x) sin j dx. о
Единственное решение (VI. 140) имеет вид (упражнение для читателя)
т 1 1 v л 32 • х 16 а. 4 , 8 . лтт 1^ i\
t/2 (х) = 4 - g^-sm -j - -j cos ¦g' + 'g cosx-f ysinx. (VI. 141)
В функциональных обозначениях запишем (VI. 141) в виде
U, 2fj-M0| В(6, Б)),
имея в виду, что и2 принадлежит подпространству, ортогональному ?*.
Для того чтобы решить уравнение (VI. 138)3, мы должны сначала вычислить
6 <В (Б, u2), ?*> = 20-g, 6<С(Б, Б, Б), ?•> = --§.
Поэтому условие разрешимости (VI. 138)я дает
Зр2?'(0)-|- + 20-^ = 0, (VI.142)
или р2 " 0.232.
Окончательно бифуркационное решение можно представить в виде U (x) =
esiny+y U2 (х) + 0(83), (VI. 143)х
где (У2 определяется выражением (VI. 141) и
р " 0.116е2 + 0(е3). (VI. 143),
Бифуркационное решение является суперкритическим; если |е| мало, то оно
существует только для р > 0 и имеет две ветви: е > 0 и е < 0. Обе ветви
устойчивые.
Пример VI.3 (На котором читатель может проверить себя - может ли он идти
дальше!). Рассмотрим следующую систему урав-
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
123
нений с частными производными:
dk'i____1 d2U 1 . дЦ2 у у q
W Т дх* + дх
dU2 л 2 с№2 dt дх2 '
(VI. 144),
где а функции ?/х и U2 удовлетворяют граничным
условиям
Ut (0, /) = С/, (1, 0 = 0. t=l,2. (VI. 144),
(Для эволюционной задачи должны быть заданы некоторые начальные условия:
Ui(x, 0), г = 1, 2.)
(1) Пространством Н здесь является {L2(0, 1)}2 = {("1( "2):"(? ?L2(0,
1), i=l, 2} со скалярным произведением
1
<("!, ""), (Wj, ц2)> = ]'(ад+ед)^.
о
Покажите, что собственные значения линеаризованного оператора,
появляющегося при исследовании устойчивости нулевого решения
(VI. 144)!, имеют вид -к*к}п*-\-к* и к-?2л2Д, где 6=1, 2..........
Поэтому если 0 < к < л, то все собственные значения вещественные и
отрицательные, в то время как при к > л некоторые собственные значения
положительные. Следовательно, нулевое решение устой-
def
чиво, если ^<л, и неустойчиво, если к > л. Если р=Д-л = собственное
значение, равное нулю, является двойным и индекс 1; собственные векторы
можно взять такими:
= 0, то имеет
'sin пх' xs'mnx
0 , (х) = (2/л) sin пх
?i м -
(2) Покажите, что сопряженный оператор f" (01 -) имеет вид
f; (01 и) =
(1/л) U\ + nUf и:
n2U':2 + Ul + n*U2 , где u = U*.
UU
dU j дх '
и UI, i = l, 2, удовлетворяют граничным условиям (VI.144)3. Вычислите
собственные векторы ?2 оператора f^(0|-), такие, что <5/. ?/*> = "//¦
Покажите, что можно взять
2 sin пх _1 я'
(3) Теперь мы обратимся к ситуации § VI. 12 и найдем бифуркационное
стационарное решение вида
БГ(*) =
я2^ <
sin пх
, К(*) = 0 ¦
л sin пх
u(p) = pu1 +jP2u2 +0(р3), р=Д-л, (VI. 145)!
124
ГЛАВА VI
где
Ui = JCoEi + e.6.. (VI. 145),
Подставляя (VI. 145) в (VI. 144), получаем для %0, 0О систему двух
нелинейных уравнений (см. (VI. ИЗ)):
OxXl+bi0D + aiX" + 2p1Xo0. + Vi0S = Of
а2% о + Мо + + 2Р2Хо0и + У Л = 0. (V 1'146)
Вычислите коэффициенты в (VI. 146) и покажите, что а, = 2, Ьг- = 1-л2, а2
= 0, 62 = 2л3, а, = 0, а2 = 0, Р, = - (16/Зл2) -(64/9л4), Ps = 0. Yi =
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed