Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
0(e)-i|5. Подставляя это выражение для W в (VI. 103), и (VI. 103)а, можно
проверить1), что у является собственным значением (2 х 2)-матрицы
Г ea,-fO(e2) 1 -{-eb, +0 (е2)'
[-ер.,С; + О (е2) еЬ2 + О (е2)
(VI. 104)
Поэтому имеем
у± = ± У-г^С'о +1 в (а, +Ь2) + О (| е | >/*). (VI. 105)
Здесь мы получили в R2 как проекции результаты, связанные с анализом
устойчивости в случае двойного собственного значения с индексом Риса,
равным двум, которые в точности совпадают с результатами, полученными в §
V.6 для того же случая в IR2. Полученные в § V.6 результаты исследования
устойчивости и рис. V. 1 полностью описывают все выводы, которые следуют
из (VI. 105).
§ VI.. 12. Метод проекции в двойном полупростом собственном значении
Мы хотим показать, что бифуркация решения и = 0 в двойном полупростом
собственном значении для задачи высокой размерности (VI.45) является той
же самой, что и в R2 (см. §§ V.7-9), если исключить малую пассивную
часть, которая ортогональна проектируемой части и имеет более высокий
порядок относительно амплитуды.
Устойчивость стационарного решения и = 0 уравнения (VI.45) описывается
спектральной задачей (VI.46) и связанной с ней сопря-
1) Это можно также проверить при помощи теории, разработанной в книге Т.
Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, 1966.
112
ГЛАВА VI
женной спектральной задачей (VI.49). Предположим, что а(0) = 0 -
def
двойное полупростое собственное значение fB (0|-) = fB (•). В отличие от
матрицы А0 в R2 оператор fв (•) не обращается в нуль тождественно.
Например, если fB(-) = A в R3, то имеем
A0-g = ag,
где
'О О О-
0 0 0 =^0
L0 0 - к.
А" =
и с = 0-двойное полупростое собственное значение матрицы А0. Говорят, что
два независимых вектора ?, и ?2, которые аннулируются матрицей А0,
A.-g^O, А0-?2 = 0,
лежат в нуль-пространстве матрицы А", и можно эти векторы выбрать так,
чтобы
Третий вектор
'Г '0'
?i = 0 , ?2 = 1
-0. -0.
?3 =
определяется единственным образом из уравнения А0 ?3 = - Х?3 и условия
нормировки.
В общей задаче f"(-) имеет двумерное нуль-пространство (с собственными
векторами g* и g2, принадлежащими а = 0), если fB(') обладает таким же
свойством, и уравнение
М<Р) = Ф (VI. 106)
разрешимо относительно <р в Н тогда и только тогда, когда <ф, gt>=
=<ф, ?:>=о.
Теперь рассмотрим задачу бифуркации и покажем, что она сводится к задаче,
уже рассмотренной в IR2. Сначала будем искать решение в форме (V.3) из §
V.8:
и(ц) = Ujp-f-у u2(.i2 + ду u3p3 + 0 (|х4), (VI.107)
(Аналогичные методы можно использовать для построения решений в форме
(V.2) из § V.7.) Подставляя (VI. 107) в (VI.45), находим после
отождествления, что
^U1 С 1 \
dT=Uui)-
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
113
Отсюда следует, что <ux, ?х> и <их, ?х> не зависят от времени. Будем
разыскивать стационарные решения (VI.45). Они удовлетворяют уравнениям
fB(iii) = 0,
2fne (Ui) + f"" ("XI ui) + К (u2) = 0, (VI. 108)
Каи (Ul I Ul I Ui) + 3 W (Ul I Ul) + 3 W (Ul) +
+ 3f"n (u,) + 3fee (U! |u") + fe(u,) = 0,
где в упрощенных обозначениях мы вычисляем производные от f в точке (р,
и) = (0, 0). Уравнения (VI. 108)2 и (VI.108)3 разрешимы тогда и только
тогда, когда для 1=1 и 1 = 2 выполняются соотношения
2<Wui), t;> + <K*(Ui\Ui), s;> = 0, (VI. 109)
<M(ux), ?:> + 3<fB11(a1), g;> + 3<faa(u1|u2), e;> = 0,(VI.110)
где
M (Ui) = Kan (Ul | Ux I Ux) + ЗКи" (Uj | Ux) + 3f0)x|x (Ux).
Решение u(p) всегда можно разложить на часть, принадлежащую двумерному
нуль-пространству оператора fa(-). и часть, которая ортогональна ?х и ?*:
u(9) = p{x(9)?i + 0(H)?2}+9W (р),
<u(p), Si> = px(p)> (VI lln
<u(p), ?2> = 90(P).
<W, ?x> = <W, ?'> = 0.
Поскольку все решения fK (ux) = 0 можно представить в виде линейной
комбинации двух независимых решений, то имеем
Ui = Xo?x+0o?2 (VI.112)
и Wo = 0. Комбинируя (VI. 112) и (VI. 109), находим, что
МХо. 0o) = aiXo + &i0o + aiX§ + 2p1xo0.,+Yi0o = O,
/2 (Хо. 0о) = a2Xo+ Мо+"2X0 + 2Р2Хо0о + У20" = 0,
где для /=1,2
я, = <М?J, ?,*>, &y = <fB|i (?,),?/*>,
<*aa (Si I Si). ?/*> q <feB(EllW. E/>
2 ' 2 *
__ (fug (Sa I Ег)> 5/ ^
X/ 2
Уравнения (VI. 113) являются уравнениями пересекающихся конических
сечений (V.29), которые получены в R2; (х0, 0О) = (0, 0) является
114
ГЛАВА VI
всегда точкой пересечения. Кроме этой точки пересечения могут
существовать до трех других точек. Если, как в Ra, в точке пересечения
выполняется условие
-dh df1
det 5^ =5^0, где 30 =
3%о 30о 3/2 3/2 •ЗХо 39" J
(VI. 114)
то в этой точке ответвляется решение. В общем случае кроме решения и(р.)
= 0 может существовать несколько других решений, от одного до трех:
"И(ц) = U?V + j uj V + ul* V + О (|x"). (VI. 115)
Для того чтобы показать, что условий (VI. 113) и (VI. 114) достаточно для
существования бифуркации, мы сначала отметим, что
u2 = XiSi + 9iS2 + Wlf (VI.116)
где соотношение fa (W1) = 2ftl0(u1) + faa (u, |Uj) разрешимо в силу (VI.
113). Для каждого решения Ui*1 существует W^. Комбинируя (VI. 116) и (VI.
