Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
(4/3ji) (-1 + (2/л) + (1/л3)), у2 = -8/Зл. Покажите, что два конических
сечения (VI. 146) пересекаются в начале и еще в одной (и только одной)
другой точке. Эта другая точка соответствует бифуркационному
стационарному решению.
(4) Теперь попытайтесь найти стационарные бифуркационные решения в
форме
u(e) = eu, + ye2u2 + 0(e3), ц = ецх ф ^ е2р2 + О (е3),
где Uj = + 0О?2. Покажите, что все решения, найденные в (3),
можно представить в виде рядов по степеням е; однако, возможно,
существует другое решение, не найденное в (3), для которого 0О = 0 и р, =
0. Установите, действительно ли реализуется такая возможность, и пришлите
ответ авторам. (Если ваша работа окажется корректной, то вы получите
поздравительное письмо от одного из нас.)
Пример VI.4. (Теория несовершенств). В этом примере мы рассматриваем
задачу, используя наши аналитические методы. Эту же задачу Матковский и
Райсс (1977; см. замечания к гл. III этой книги) изучали на основе
использования их метода выбора соответствующих асимптотических
разложений.
Рассматриваемая задача имеет вид
^ = g + MG <?/> + "*(*, ?/)]. (у, |47)
U (t, х) - 0 при х = 0, я,
где O^xs^n и t^O. Мы сначала исследуем бифуркацию стационарных решений,
когда 6 = 0. Затем мы нарушим бифуркацию, считая 6 Ф 0.
Конкретизируя (VI. 147), будем считать, что
G(U)= 2 апи", о,> 0, (VI. 148)
и > 1
причем этот ряд сходится для достаточно малых | U (t, х)|, и что
?(Х, 0)^0. (VI. 149)
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
125
Условие (VI. 149) гарантирует, что \J = 0 не является решением (VI. 147)
при б=/=0.
В этом примере, как и в примере VI.2, H = L2(0, л) с тем же самым
скалярным произведением. Определим линеаризованный "производный" оператор
d2fj
К (М-1") = + Ха1и = (0 [ u) + pfB"(0 I и),
где p = ?i- 1 /ау, его областью определения служит пространство
( def
\u =U{-)?H: U (0) = U (л) = 0, где U, dU/dx, d2U/dx2
квадратично интегрируемы на (0, л)| *).
Собственные значения оператора fB(p|-)cyTb оп - Ха1 - п2, п = 1, 2, ... .
Поэтому нулевое решение (VI. 147) устойчиво, если р < О, и неустойчиво,
если р > 0.
Обращаясь теперь к построению бифуркационного решения (которое существует
только если 6 = 0), находим, что
u = е? + j ua + j и3 + О (е1), р = ер! + j р2 + 0 (е3), при этом
ио|Б) = о,
^(0\щ) + 2а1^ + 2-^ = 0, и1
h (0 I U.0 + За^Ч- За,р,и2 + _j_ бр,а2?2 = 0,
а1 и1
fa (01 u") + na1\i"_ltl + члены более низкого порядка = 0. Возьмем
?(x) = sinx, I* (x) = -|sinx,
так что
а2 8
Если а2 = 0, то получаем рх = 0 и и2 = 0, и тогда р2 =-3a3/{2af). Поэтому
бифуркационное решение (VI. 147) с6 = 0 является двусторонним, если а2 ф
0:
U (х) = е sin х + О (г2),
^-ф~щ+0^ (V1'I50>
х) Это пространство есть алгебра, т. е. произведение любых его двух
элементов также принадлежит ему. Выражения, подобные gu2, суть билинейные
функционалы в этом пространстве.
126
ГЛАВА VI
или односторонним, если а2 = О и а3 Ф 0:
U (x) = ssinx + 0(e2),
^ = X-i = -^fs2 + °(e8)- (VL151)
Изучим теперь задачу с дефектом (6=^0), используя обозначе-
ния § VI. 10. Имеем
0 = f (fx, u, 8)==fa(0|u) + [xfull(0|u)+ (м. + ^-)[Ха"и,! + б§(-> u)
(VI. 152)
Будем предполагать, что
g(-. u) = g" + g1u + 0(u2), (VI.153)
где g,- суть известные функции на [0, л]. Условие (VI.71) здесь при-
нимает вид
1
Oi <go. ?*>
или
j go (л:) sin х dx ф 0. (VI. 154)
0
Найдем теперь и(ц, е) и б = А (р., е), где
e = <u, ?*>. (VI. 155)
Формулы (VI.79), (VI.80) приводят к выражениям
д - 2а <g2' S*> A -
aE8- ^2<го;Г>. A^-<g0,?*>-
и поэтому получаем зависимость
6 = ~ {ш ааб2+ ?*>-1 + О [| е | (| е | +1 (х I)"],
которая описывает разрушение бифуркации (VI. 150) при а%Ф0. В случае,
когда а2 = 0, имеем ДЕе = 0, иее = 0 и
A 6a3<g3,g*> A 2aJ<glE, 5*> д 2af
888 - <во. е*> * "8е~ <g0. s*>2 ' №8
<g". S*>'
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
127
Поэтому если а2 = 0, то разрушение бифуркации (VI. 151) описывается
зависимостью
> = -а
:?ер-^ е3 + of М-е2 + <ф2е
<go.S*> 1+0(|е| (|e|+||A|)s).
(VI. 156)
Отметим, что равенство 6 = 0 снова дает бифуркационные решения (VI.150),
(VI.151). Если агФ0, то зависимость р(е, 8/е) имеет вид
[г=_"о1рб__8_а|_е+0Л|+ б
ai
Зл ах
(VI. 157)
Если же а2 = 0, а3Ф 0, то
Глава VII
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ (БИФУРКАЦИЯ
ХОПФА) НА ПЛОСКОСТИ
До сих пор среди равновесных решений рассматривались только стационарные.
Теперь мы покажем, как периодическое по времени решение может родиться из
бифуркации стационарного решения. В этом случае симметрия правых частей
уравнений, первоначально не зависевших от времени, разрушается
периодическим по времени решением. Тогда динамическая система ведет себя
"самостоятельно" в том смысле, что решение не отвечает симметрии правых
частей уравнений.
Следуя процедуре, уже принятой для стационарных решений, мы начнем с
задач наименьшей размерности, в которых имеет место характерная
бифуркация, и затем, используя метод проекции, покажем, что к этой задаче
