Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 32

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 102 >> Следующая

fB(p(e), и (е) | \) = Л (e)-v,
a d (e) есть (2x 2)-матрица. Полагая \ = и используя (VI.23), получаем
спектральное уравнение
yg = fa(p(e), u(e)|S). (VI.24)j
В R2 существуют два собственных значения у матрицы Л (е). Одно из них
близко к li (0) = 0, а другое-к ?2(0)- Если е близко к нулю, то два
собственные значения обязательно вещественные, если |2 (0)=^=0, так как
комплексные собственные значения должны появляться комплексно-
сопряженными парами. Задача на собственные значения, сопряженная к
(VI.24), описывается уравнением
yS* = f; (14(e), u (в) I ?•). (V1.24),
где в R2
f*(fx(e), и (е) | ?*) = Лг(еК*
и Лт (е)-матрица, транспонированная к Л (г).
Теорема о факторизации. Пусть ?(е) и ?*(е)-собственные векторы,
принадлежащие у(е), и пусть у (е)-простое собственное значение fa(p(e),
u(e)|-) и <ue(e), g*(e)>^0. Тогда
( ) _ -Ре (е) <f^ (Ц (S), и (в)), g* (е)>
<ue(8), g*(8)> ' IV 1.20)
? = <iie (в),' Е"(е" <U + Ее (8) q (в)}, (VI .26)
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
95
где q (е) удовлетворяет соотношению
~<ue', f*>Ue + !|X(^ (е)> U(8)) + (Y4-u(e)|q)) = 0 (VI.27)
и
<q(e), ?*(е)> = 0.
Кроме того, при е->-О имеем р(е)-*0, (е) -г/х, ue(e)-*-хх,
<fw((i(e), u (е)), 0|xi), y1>e = g1'(0)e
и
Ye(e)= - ^Е(е){|Н0)е + О(е2)}. (VI.28)
Доказательство. Так как f (jj, (е), u(e)) = 0, то после дифференцирования
по е получаем
Me) ММ-(в). u(e)) +f"(p(8), u(e)|ue(e)) = 0. (VI.29)
Соотношение (VI.25) получается из скалярного произведения <(VI.29), ?*> с
использованием преобразования <f^(p, и | ие), |*> = <иЕ,
/и (l1. u|?*)> = y<ue, ?*>. Для того чтобы найти (VI.27), подставим
(VI.25) и (VI.26) в (VI.24) и исключим fa(p, u|ue) при помощи (VI.29).
Тогда произведение р8(е) на левую часть (VI.27) равно нулю Теперь можно
показать, что функция qE, удовлетворяющая (VI.27), является гладкой по е,
а потому все члены левой части (VI.27) представляют собой гладкие функции
по е. Следовательно. Ме) есть истинный множитель, и левая часть (VI.27)
равна нулю Чтобы найти решение q задачи (VI.27), сначала нужно решить
задачу (VI.24).
Факторизация (VI.25) для R1 как проекции аналогична факторизации (11.44)
для R1, а (VI.28) для R1 как проекции совпадает с
(11.53) для R1. Все заключения о локальных свойствах бифуркационных
решений являются одними и теми же в R1 и в R1 как проекции.
§ VI.5. Добавочная малая часть для R1 как проекции
Обращаем внимание читателя на то обстоятельство, что члены
3<faa(0|x1|u2), ух> и 3p.j <fa|X (01 u2), yt> в (VI.20), для R1 как
проекции не имеют прототипов в (VI.22), для R1. Добавочные члены
обусловлены тем обстоятельством, что в R2 имеется пассивная часть
решения, которая влияет на члены высокого порядка посредством нелинейной
связи и имеет нулевую проекцию в R1.
Добавочная малая часть дается членом w в разложении
u = a(0x! + w, fa (р | Xj (р,)) = gj (р) хх (ц) (VI.30)
96
ГЛАВА VI
на составляющую a(t)xlt где а(?) = <и, ух>, и дополнительную часть <w,
Ух> = 0 с нулевой проекцией. Представляет интерес
вывести уравнения для a (t) и w. Запишем (VI. 1) в виде
0х I u) + N (р, и), (VI.31)
где
N((x, и) = -i- f(и-1 и | и) -Ь 0 ([| и р).
Подставляя (VI.30) в (VI.31), находим
(a-gi (fA) а) х, +^- = fn(n| w)+N (р, u). (VI .32)
Так как
yx> = i<w' У1>=0
и
<1"И"). Ух> = <w, f" о* I Ух)> = Ei <W, y,> = 0,
то находим, что проектируемая часть решения удовлетворяет уравнению
ix (p)fl = <N (р, и), ух>, (VI.33)
тогда как дополнительная часть с нулевой проекцией на хх удовлетворяет
уравнению
= w) + {N (р, u) -<N(p, и), у1>х1[. (VI.34)
Уравнение (VI.34) показывает, что если все собственные значе-
ния fa(p|-). кроме ?х (р), имеют отрицательные вещественные части (в IR2
существует только одно такое собственное значение |2 (р) < <0), то для
достаточно больших t имеем w = 0(a2), так как
N (р, u) = a2 faB (р | хх | хх) + 2afaa (р | хх | w) +
+ faa (р | w | w) + 0 (j| u j[3).
Поэтому (VI.33) можно записать в виде
a-|j (р) a = at (р) а2 + 0 (a3), (VI.35)
где al(p)-<f"(p|x,|x1), ух>. В IR2 можно положить W = &(0х" fe(p|(X2)
=|2(р)ха и после проектирования результата на у2 получаем
Ь-Ъг (Р) b = {а, (р) a2 + 2р2 (р) ab + у2 (р) Ь2} + О (| а | +1 b |)3,
(VI.36)
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
97
где
"2 0*)="<f" (и| х, I xj, у2>,
02 (^) = I Xi | Х2), у2>,
Va(M') = <*ee I х21 ха), у2>.
Амплитуда b(i) составляющей w входит в (VI.35) только в
О (а3) = 2ab^ (ц) +Ь2У1 (ц) +0 (|| и р), (VI.37)
где
Pi (IA) ===== <fa" (и-1 Xj I x2), yi>, 3
Vi(^) = <faa(^ix2|x2),y1>.
Бифуркационные результаты § VI.2 можно получить из (VI.35), (VI.36) и
(VI.37). Например, можно найти бифуркационные решения в форме
CD 00
а = е, Ь = ? ^Ьпгп, ц = ?^Цие".
§ VI.6. Проекции задач высокой размерности
Мы приступаем к исследованию бесконечномерных задач, в частности
описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных и других
задач, которые можно рассматривать с помощью эволюционных уравнений в
гильбертовом пространстве, как если бы они были в К". Наша цель-показать,
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed