Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 35

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 102 >> Следующая

Другие решения экспоненциально убывают со временем. В этом случае
построение бифуркационного решения связано с проектированием в двумерное
пространство.
(б) Для р. = 0 единственное собственное значение проходит через начало.
Если с = 0-простое собственное значение, то задача может быть сведена к
IR1 на основе методов, тождественных методам, использованным для сведения
к IR1 задачи бифуркации решений в R2, когда собственные значения (2х 2)-
матрицы А(0) вещественные и различные (см. рис. VI. 1).
§ VI.8. Спектральная задача и преобразование Лапласа
Лучшего понимания эволюции линеаризованной задачи с начальным значением
|r = f"Hv), v (0) = v0 (VI. 50)
можно достичь на основе методов преобразования Лапласа. Сначала определим
преобразование
СО
V (к) = § v (t) е-н dt (VI.51)
о
и формулу Меллина для обратного преобразования
1+1(r)
v(0 = i J V(k)e^dk, (VI.52)
| -ice
где = ir\. Теперь будем считать, что | достаточно велико, так что при t -
*¦ ОО
v (/)<?-*<-+0, (VI.53)
где v(/) удовлетворяет (VI.50). Покажем, что (VI.53) выполняется, если
1>|1(р), где ^ (р)-наибольшая вещественная часть среди собственных
значений fa(p|-)-
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
103
Применяя преобразование Лапласа к (VI.50), находим, что
v0 = AV-fa(p|V). (VI.54)
Спектр оператора fa(p|) теперь можно определить как множество значений-
А,, для которых (VI.54) нельзя разрешить относительно V. Все собственные
значения принадлежат этому особому множеству.
Рис. VI.2. Полюсы резольвенты R (А, р) на комплексной A-плоскости
являются собственными значениями о оператора f"(p|-). Полюсы вместе с
другими особыми точками R(-|p) определяют полный спектр fa (р |•)¦
Говорят, что значения А, которые не входят в спектр, принадлежат
резольвентному множеству. Для этих значений (VI.54) можно обратить:
V (А, р) = R (А, р)• v0, (VI.55)
где R (А, р)-резольвентный оператор, представляющий собой обратный
оператор по отношению к линейному оператору Al-fa(p|-). Для широкого
класса дифференциальных уравнений с частными производными R (А, р) имеет
форму интегрального оператора Грина. Объединяя (VI.55) и (VI.52),
находим, что
i+i(r)
= i $ ewR (A, p)-v0dA. (VI.56)
l- ieo
Выберем | столь большим, чтобы все особые точки R (•, р) находились слева
от прямой f== const (см. рис. VI.2). Эти особые точки представляют собой
не что иное, как спектр fa(p|); собственные значения а оператора fa(p|)
являются полюсами R (А, р). Простые собственные значения являются
простыми полюсами R (А, р).
Поучительно рассмотреть случай, когда одна комплексно-сопряженная пара
простых собственных значений и Oj имеет вещественные части большие, чем
вещественные части любых других собственных значений в спектре fa(p|-).
104
ГЛАВА VI
Нетрудно показать, что
<v(0, ?'> = <v0,
Для доказательства сначала спроектируем (VI.52) на ?1 и найдем, что
|+'"
<v(0. ?i*> = 2J5 J <V(X. ,*),К>*Д.
1-1'"
Затем, проектируя (VI.54), получаем
<v", ?!*> = Я,<У, Si*>-<fa(MV), ?*> =
= *<V, ?Г>-<V, t; (i* | so> =
"(Я,-ai)<v, g;>.
Следовательно,
/v c*s4'" *
I-1(r)
= <v", ?;>e°''.
Таким образом, метод вычетов (VI.56), использованный в настоящем случае
(и подавляющий зависимость v от р.), приводит нас к интегральному
представлению вычета
1+1"
v(f)-<v0, J e"VWA, (VI.57)
1- i"
где ft < Rec^ < | (см. рис. VI.2) и интеграл в правой части (VI.57)
ортогонален и ?5. Если t велико, то (VI.57) показывает, что
v(0~eb' (eiT'i* <v", ?Г> S0-
Более обще, если собственное значение кратное, то ах-также кратное
собственное значение, так как оператор fK(p|-) - вещественный, и метод
вычетов можно применить для вывода нового представления (VI.56):
fi+1(r)
V (0 = с*Ф(0+<?"*'P(0 + i J еК1*(К> (VI.58)
li-i(r)
где R (Я,, р) = (АЛ-fa(p|-))_1, а Р(/) - полином относительно t степени
v-1 с коэффициентами, зависящими от v0, при этом v - индекс Риса
собственного значения сг^
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ 105
Для интеграла в (VI.58) можно получить оценку следующего типа: lv(0-
2Re(^P(0)||<^||v0||.
Поскольку = Re Oj > то первые два члена в правой части (VI.58) доминируют
в определении характера поведения v(t) при t -> оо.
В заключение этого раздела заметим, что формула (VI.56) представляет
собой обобщение матричной экспоненты. Если Н = R", то
v(t, n) = eA(,1)*-v0, (VI.59)
где экспонента определена для t^O и t <С 0. В более общих случаях,
например в эволюционных задачах, для которых Н =#=R", можно определить
(VI.56) только для t > 0, потому что вместо свойства группы
gA + - gAi\gAtt
где -оо < tj < оо, / = 1, 2, мы имеем свойство полугруппы, так как
требуем, чтобы tx и ^ 0.
§ VI.9. Проекции в R1
Если вещественное изолированное простое собственное значение с(р) = |(р)
оператора f"(p|-) строго пересекает начало комплексной с-плоскости приц =
0, то получаем бифуркацию решения и = 0 в стационарное решение и=^=0 при
ц=^=0. Это решение можно разложить на часть, принадлежащую нуль-
пространству оператора fa(0|), и малую часть, которая ортогональна
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed