Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
определения оператора А*.
Тогда, как и в дополнении IV. 1, можно найти в Н элементы
п, (ф(*|1=1 п, удовлетворяющие соотношениям
(ст1- А)-ф, = 0,
Й-а*)ф;=о,
и
<Ф,-, Ф;> = й,7. (VI.42)
где п-кратность собственного значения, a v-его индекс Риса. Кроме того,
как в дополнении VI.2, можно определить проекцию Р:
П
P u = X<u, ФФ>Ф,-, (VI.43)
i= I
Р Р u = P u, РА u = A Р u (VI.44)
для любого ив//1). Действительно, (VI.43) и (VI.44) выражают
фундаментальные свойства проекций в общем случае.
Во всех наших задачах кратность и индекс Риса не будут больше двух, и
поэтому размерность проекции Р будет равна единице или двум. В этих
задачах часто удобнее оперировать с компонентами <и, ф*> проекции, чем с
самой проекцией.
3) В области определения оператора А для РА-и.
100
ГЛАВА VI
§ VI.7. Спектральная задача для анализа устойчивости решения 11 = 0
Теперь мы будем рассматривать эволюционное уравнение
¦f- = f(p, u), f(|x, 0) = 0, u ?Н. (VI.45)
Малое возмущение v =е°% решения и = 0 удовлетворяет уравнениям ^ =
fa(p|v), o? = fB(p|?)f (VI.46)
где
ted1 !¦)==*"(И. 01-)= а(И-)(•)
- линейная часть f (р, и), вычисленная в точке и = 0, а fa(p|-)-
линеаризованный оператор, введенный в § VI.6. Собственные значения
<*(Р) = ? (HO + frlO1) (VI.47)
оператора fa(p|-) удовлетворяют уравнению (V1.46)2 для ненулевого ?. Они
составляют часть того, что называется спектром fa (р|-). Если Я = К", то
спектр целиком состоит из собственных значений. Во многих задачах,
связанных с дифференциальными уравнениями с частными производными
(например, в эволюционных задачах, описываемых дифференциальными
уравнениями в частных производных параболического типа, или в задачах,
связанных с уравнениями Навье-Стокса для ограниченных областей), спектр
целиком состоит из собственных значений.
Нас будет интересовать случай, когда часть спектра, определяющая
характер устойчивости решения и = 0, является конечным мно-
жеством изолированных собственных значений. Вообще говоря, это верно в R"
и в большей части приложений, относящихся к полям, которые встречаются в
континуальной физике и механике.
Вообще говоря, Е(р) и Л О1)" а> стало быть, и с(р) представляют собой
непрерывные функции от р.. Если собственное значение а является
алгебраически простым для некоторого значения р0 параметра р, то в
окрестности р0 функции ?, р и а обладают такой же степенью гладкости, что
и fa(p| ). Такой же степенью гладкости обладают по-лупростые собственные
значения, например, когда возмущение кратного собственного значения на р-
р0 расщепляет в первом порядке по р-р0 это собственное значение на
некоторое число собственных значений, равное кратности собственного
значения с(р) при р = р0. В § IV.7 уже было показано, что если а
представляет собой кратное собственное значение с индексом Риса, большим
единицы, для некоторого значения р0 параметра р, то, вообще говоря, |,
т), а не обязательно должны быть дифференцируемыми по р при р = р0, даже
если оператор fa(p|-) является аналитическим по р.
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
101
Сопряженным для оператора fB(p|-) = A(p) является оператор
def
= (VI.48)
удовлетворяющий (VI.41), а сопряженная спектральная задача имеет
вид
a?* = f; (|* | S-).
(VI.49)
Устойчивость решения и = 0 уравнения (VI.45) может быть установлена на
основе знания спектра оператора fB(p|-)- Предположим, что спектр состоит
исключительно из собственных значений. Тогда и = 0
А7
И- ^"0
щ _
г о 3 г
а б
Рис. VI. 1. Собственные значения а (р) = I (р) + iY| (р) оператора /и (р
|•) в критической точке р = 0. В случае (а) пара комплексно-сопряженных
простых собственных значений пересекает мнимую ось. В случае (б) одно
вещественное собственное значение проходит через начало.
условно устойчиво, если все собственные значения имеют отрицательные
вещественные части (| < 0), и неустойчиво, если какое-нибудь собственное
значение имеет положительную вещественную часть. Условная устойчивость1)
означает, что и = 0 устойчиво по отношению к малым возмущениям. Условно
устойчивое решение может быть неустойчивым по отношению к большим
возмущениям, эволюция которых не описывается линейной теорией.
Пусть при fx < 0 нулевое решение и = 0 условно устойчиво, а при
прохождении параметра р. через 0 это решение теряет свою устойчивость. Мы
рассмотрим два случая.
(а) Для р = 0 пара простых собственных значений ± ico0, со0=т^О, лежит
на мнимой оси, а другие собственные значения имеют отрицательные
вещественные части. Для критического значения р = 0 параметра р
a (0) = /г] (0) = fco0, ?(0) = 0,
*) В отечественной литературе этот термин имеет иной смысл.- Прим. перев.
102
ГЛАВА VI
и мы предполагаем, что 1ц (0) > 0. В этом случае мы получаем бифуркацию в
периодические по времени решения (см. гл. VII и VIII). Для приводимого
здесь анализа достаточно заметить, что линеаризованная задача
? -U0|v)
имеет только два независимых периодических по времени решения:
v(/) = el'(r)o^ и v(^).
