Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
нуль-двойное полупростое собственное значение линеаризованного оператора
при р = 0. Если считать, что о > 0, то решения можно представить как на
рис. V.9. Эти решения даются значениями
(1) ^ = 0, х2 = 0;
(2) X] =0, х2 = о-р;
(3) Xj = p, х2 = 0;
(4) х, = 2о-Зр, х2 = 2р-о.
Точки х, = 0, х2 = о/3 при р = 2о/3 и хх - а!2, х2 = 0 при р = о/2
являются точками вторичной бифуркации.
84
ГЛАВА V
Для определения характера устойчивости стационарного решения установим
знаки вещественных частей двух собственных значений для этого решения.
Эти знаки указаны на рис. V.9. Решение (4) устойчиво (-, -) для
суперкритических точек р > а/2 вблизи точки (х1У д:2) = (а/2, 0)
вторичной бифуркации и неустойчиво (+, +) для субкритических точек
р<2а/3, близких к точке (х1У х2) = (0, а/3) вторичной бифуркации. Между
этими двумя точками два комплексносопряженных собственных значения
пересекают мнимую ось. Для того чтобы это показать, положим
(хи х2) = (2о-Зц + х'и 2ц-а + х2), где (х[, х2) удовлетворяют уравнениям
-^- = (3р-2а) (х[ + 2х2)- х;2-2х[х2,
-^1 = (2ц-а) (х[ + х2) + х[х2 + х'2г.
Собственные значения линеаризованной системы удовлетворяют соотношениям
Y1Y2 = (2р-а) (2а-Зр) > 0,
Yi +?2 = 5М'-За.
Если р = За/5, то два собственных значения лежат на мнимой оси.
В гл. VII и VIII будет показано, что при пересечении парой комплексно-
сопряженных собственных значений мнимой оси рождается периодическое по
времени решение исходной задачи. Это обстоятельство известно как
бифуркация Хопфа1). В этом примере третичная бифуркация является
вырожденной: она имеет место для единственного значения р -За/5. Если в
дифференциальной системе добавить члены более высокого порядка, то
получим невырожденную бифуркацию Хопфа, как показано на рис. V.9.
Дополнение V.I. Теорема о неявной функции для системы двух уравнений с
двумя неизвестными функциями от одной переменной
Рассмотрим следующую систему двух уравнений:
1. е) = 0,
n (V.32)
M*i. х2, е) = 0,
где /у и f2-непрерывно дифференцируемы в открытом "кубе": <Хг< В1У
А2<х2< Вг, Ej < е < е2. Пусть
/l(^10> -^201 (r)о) =/2 С^10> Х2д, (r)о) (V.33)
1) Подробные исследования этой бифуркации были проведены А. М. Ляпуновым
и А. А. Андроновым (см. предисловие редакторов перевода к русскому
изданию книги Марсдена и Мак-Кракена, упомянутой в литературе к гл. 1).
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 85
А1<х10<В1, А2< х20< В2, е1 < е0 < е2 и предположим, что матрица Якоби
гMjl Й1.-
дхх дх2
dh_ дП
_ дхх дх2 _
f =
(V.34)
вычисленная в точке (х10, х20, е0), имеет отличный от нуля определитель:
det f-фО. Тогда существуют а>0 и р > 0, такие, что имеют место следующие
утверждения:
(1) Существует единственная пара, функций хг и х2, определенных для е0-
a<e<e0-fa и удовлетворяющих условиям xig-f5 < < х,-(е) <х!о + р, t=l, 2,
и f/(x 1 (е), х2(е), е) = 0, г'= 1, 2.
(2) Кроме того, х3 и х2 непрерывно дифференцируемы для е0 - - а<е<е0 + а
и
(V.35)
~x'i (е)'
А (е).
= - f х2(г), е)
дг
df2(xi(e), х2 (s), е)
de
Если /, и /2-аналитические функции всех своих переменных, то Хх (е) и х2
(е) аналитичны вблизи е = е0.
Замечание. Этой теоремы достаточно для наших целей. Ее доказательство при
более общих предположениях можно найти в любом курсе по математическому
анализу.
К условию det ф фО мы также приходим при использовании правила Крамера
для решения системы уравнений относительно старших производных от хх(е) и
х2 (е). Если все производные от fi(xt, х2, е) до порядка п известны в
точке (х10, х20, е0), а также известны dkXj(B0)/d&k, /'= 1, 2, k=\, ...,
п - 1, то п-я производная от f(Xx^), х2(е), е), равная нулю, имеет вид
д.о _п
дхх деп дх3 дхп ~rsi >
Мл §2^1 л. л. а =П
дхх деп дх2 деп (r)г '
где gx и g2 содержат только известные производные низшего порядка.
Согласно правилу Крамера, эти уравнения можно разрешить, если det f-фО-
Функции xx(e) и х2(е) можно построить в виде степенных рядов по е до
порядка, обеспечиваемого условиями их дифференцируемости. В качестве
упражнения читателю рекомендуется показать, что это построение можно
выполнить, если det 'У-фЬ.
86
ГЛАВА V
Упражнения
V.I (см. § V.5). Рассмотрим систему dux
-"2 + р (dMi + bou2) + а1ощ + 2$l0UxU2 + Yio"2,
dt
dt
- = \ldaU2 -f* a20"l 2P20U\U2 -)- Yl0"2,
где a20 Ф 0.
(1) Построить стационарное бифуркационное решение (иг (р), и.г (р)) в
форме
СО
"/ (р) = 2 "/П.11". < = 1,2.
п - 1
Отметим, что мы имеем случай, в котором 12 нуль-двойное собственное
значение линеаризованно-
го оператора при р = 0 с индексом 2 и со = 0, как в у § V.5.
У
Указание. Сначала покажите, что и21 = иц =
yi =&22 = 0" ^12 ~ ^0^o/ot20 И Т. Д.
ч
0
U
(2) Пусть нулевое решение устойчиво при р < 0 Рис. V 10. и строго,
теряет устойчивость, когда р при возраста-
нии переходит через нуль (с а'и > 0 и d'0> 0). Покажите тогда, что
бифуркационное решение неустойчиво при р < 0 и при р >
0,
если |р| мало (см. рис. V.10).
V.2. Рассмотрим систему
^=рЙ1 + 2",". + ul + О (| р 11| и ||2 +1 р |21| и || ¦+1| и IP), р"2-Щ1Н
