Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 30

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 102 >> Следующая

бифуркацию, если расщепим двойное собственное значение, зависящее от Р, и
сохраним симметрию и2-> - иг системы (2). Первыми, кто заметил, что
расщепление кратных собственных значений может приводить к вторичной
бифуркации, были Л. Бауэр, Г. Келлер и Э. Райсс (Multiple eigenvalues
lead to secondary bifurcation, S/AM Review, 17, 101, 1975). Первыми, кто
указал на важность
Рис. V.12. Фазовый портрет решений системы (1)
симметрии при образовании вторичной бифуркации при сообщении расщепляющих
возмущений, были М. Голубицкий и Д. Шэффер (Imperfect bifurcation in the
presence of symmetry, Com. Math. Phys., 67, 205-232, 1979) и М. Шерер
(Secondary bifurcation near a double eigenvalue, SIAM J. Math. Anal., 11,
No. 2, 365-389, 1980).
V.7. (Периодические орбиты, ответвляющиеся от начала в двойном
собственном значении с индексом 2.) Рассмотрим систему
принадлежащую к классу систем, исследованных в § V.5, V.6.
(1) Вычислить и исследовать устойчивость стационарного бифуркационного
решения (V.2). (Если р < 0, то (ии ц2) = (0, 0) - центр, тогда как (V.2)-
седло; если р > 0, то ситуация обратная.)
(2) Проинтегрируйте нелинейное уравнение второго порядка, эквивалентное
системе (1), и покажите, что для каждого р существует бесконечное число
периодических решений системы (1). (См. рис. V.12.)
Замечание. Система (1) имеет вид Ui=fi(uu и2, р), 1=1, 2, и обладает
специальным свойством (5/1/5и1)-}-(|3/2/|Зий) = 0. Благодаря этому
свойству система (1) является консервативной, а не диссипативной. В
консервативных системах решения не могут обладать асимптотической
устойчивостью, и эти системы могут иметь другие специальные свойства.
Такие системы не будут рассматриваться в этой книге.
V.8. Предположим, что квадратичные члены не содержатся в h (р, щ, и2) = 0
и /2 (р, "г, и2) = 0, а кубические члены содержатся. Покажите, что,
вообще говоря, имеются 0, 2 или 4 бифуркационные ветви.
Гомоклиническая орбита
- ¦ / Периодические
решения
Центр
dui
(1)
Указание. Вспомните, что кривые третьего порядка пересекаются в 1, 3, 5,
7 или 9 точках, и воспользуйтесь симметрией.
Глава VI
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ В СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
Теперь хотелось бы аккуратно показать, как задачи высокой размерности,
дифференциальные уравнения в частных производных и интегро-
дифференциальные уравнения на основе методов проекции приводятся к одно-
и двумерным задачам.
Лучше начать с задачи, которая уже была рассмотрена в гл. V,
воспользовавшись другими обозначениями, а именно с задачи бифуркации в
стационарные решения в R2, если собственные значения fa (01 •) = А (0)
(•) вещественные и различные. Эта задача, в сущности, является одномерной
после проектирования, связанного с собственным значением |,(0) = 0 в
критической точке и собственным вектором хх и сопряженным вектором у,.
Для большей эффективности лучше излагать это доказательство проекции
бифуркационной задачи в R1 в обозначениях, которые можно непосредственно
распространить на задачу бифуркации в вещественном простом собственном
значении для бесконечномерных задач, таких как задачи, которые возникают
при исследовании дифференциальных уравнений в частных производных.
§ VI. 1. Эволюционное уравнение и спектральная задача
Запишем сначала эволюционную задачу, пользуясь опять функциональными
обозначениями, введенными в (1.21):
^- = f(p, u) = fa (р| u) faa (р| u | и) + О (I и I3), (VI.1)
где fa (р | и) = А (р)-и и т. д., как в (1.22). Сейчас мы рассматриваем
(VI. 1) как двумерную задачу, исследованную в качестве случая (1) в гл.
V. Спектральная задача, связанная с анализом устойчивости решения и = 0,
уже была получена в гл. IV. Малое возмущение \ = eawtx удовлетворяет
уравнениям v = fa(p|v) и
a(p)x = fa(p|x). (VI.2)
Мы считаем, что в R2 оператор А (р) = fa (р |•) имеет два различных
вещественных собственных значения (р) и |2 (р) и два собственных вектора
хх (р) и х2 (р) (см. § IV.2).
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
91
Поэтому
I) (р) X, =f а (Р1 Ху). /=1.2, (VI. 3)
для р из интервала, содержащего нуль. Задача, сопряженная с (VI.2)
относительно скалярного произведения (IV.7), есть
(r)(р)У"=^(р1у). (VI.4)
def
где (р | •) = [^я (Р1')]*-линейный оператор, сопряженный с fa
относительно скалярного произведения <а, b> = <b, а>, которое для Си было
введено в § IV.3. Определим f* соотношением
<а, fa (р | b)> = <[fH (р | a)]*, b> = <f* (fx | а), b>
для всех а и b из соответствующего пространства (fa не обязательно нужно
интерпретировать как линеаризацию некоторого I*). В IRn
(Р I •) = Аг (р)
можно представить в виде матрицы.
При наших предположениях относительно собственных векторов f0 (р |-)
(VI.4) приводит к соотношениям
Ыр)У, = 1"(р1У/). *=1. 2- (VI.5)
Если два собственные значения вещественные и различные, то
<*/. Уг> = <V
Для критического значения ^(0) = 0, (0) < 0, ?((0)>0 и
ii (0) = <faa (01 xt), ух> (VI.6)
(см. рис. IV.3(a)).
VI.2. Построение стационарных бифуркационных решений в виде степенных
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed