Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 39

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 102 >> Следующая

110), находим для 1=1 и 1 = 2, что
^ + S/*)+ <fBa (U1 I ?l). ?/>} +
+0,{<W(W. s;>+<faB(uI|g2), g;>}=o, (vi. П7)
где
P, = l<M(Ul), ??> + <fuw(W1), ?;> + <f""(a1|W1), Vi>
известно после вычисления членов более низкого порядка. Нам нужно найти
Xi и ^i- Подставляя и, = + 0О?2 в hu и используя
(VI. 113), мы приводим (VI. 117) к виду
р + 3'о'Х = 0. где / =
~Xi' ¦РГ
А. , р = р*.
(VI. 118)
Эти два уравнения имеют единственное решение тогда и только тогда, когда
det 30 Ф 0.
В точности это же самое уравнение разрешимости получаем при вычислении
членов более высокого порядка.
Теперь мы покажем, что устойчивость бифуркационных решений u[ft|(p),
k=\,2 или 3, и решения и = 0 определяется собственными значениями матрицы
30. Пусть и(ц)-одно из указанных четырех решений, и пусть еу%-малое
возмущение решения и, удовлетворяющее спектральной задаче
YE = f. 0*. u(p)|Q- (V 1.119)
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
115
Если р = 0, то и = 0, у(0) = 0 и fa(0, 0|?(0)) = fa (?(0)) = 0 имеет два
независимых решения gj и ?2. Поэтому ? (0) = Л?х + В?,2, где А и В
подлежат определению. Дифференцируя (VI. 119) один раз по р. при р = 0 и
заменяя ?(0) в получаемом уравнении, находим с помощью условий
разрешимости, что
_7цл+л{<^(?1), g;> + <f" (ujgx), g;>}+
+b{<W(U. sr>+<f""(ux |s,), s;>}=o
и
-УдВ+Л{<^(?1). ?I> + <f""(u.l?i). ?*">} + +B{<W(S2). ?l> + <f""(ui|?.),
Подставляя u^Xo&i + QoS* B W(uil'). находим, что
Ур,А = 3 q • A,
где
A
Следовательно, суть собственные значения матрицы 30, как в R2. Строгое
обоснование этого метода вычислений можно найти в монографии Като (1966),
указанной в § VI. 11.
Дополнение VI.1. Примеры применения метода проекции
В этом дополнении мы применим методы проекции, изложенные в настоящей
главе, к специальным задачам, которые приводят к интегро-дифференциальным
уравнениям и к уравнениям с частными производными. Эти примеры можно
рассматривать в качестве упражнений для студентов. Их цель-обучить
интересующихся читателей, например, тому, как поставить их специальные
задачи в рамки нашей общей теории.
Запишем эволюционную задачу, приведенную к локальной форме, в виде
^ = f (р, и) = f" (|Х | и) + j f" (р | и | и) + faaa (|Х | и | и | и) +
... .
В некоторых задачах, исследуемых в настоящем дополнении, этот ряд для f
обрывается и производные от f выше первого порядка не зависят от р:
yfoa(HuN = B(u. и).
Jihau (Р | U | U | U) = С (U, U, U).
Читатель обратит внимание на то, что некоторые из задач, рассматриваемых
в качестве примеров и упражнений, излагаются в тер-
116
ГЛАВА VI
минах гильбертовых пространств, как в общей теории. Аппарат гильбертова
пространства удобен для строгого доказательства и изложения принципов
бифуркации в терминах, аналогичных применяемым в R". Будет очевидно, что
для вычисления бифуркации гильбертово пространство не требуется. То, что
действительно требуется для формального вычисления бифуркации, так это
альтернатива Фредгольма. Во всех случаях эта альтернатива указывает путь,
гарантирующий разрешимость уравнений, к которым приводит построение
бифуркационного решения, и определяет проекции наименьшей размерности,
которые фигурируют в этом построении.
Пример V1.1. (Интегро-дифференциальное уравнение.)1) Рассмотрим задачу об
устойчивости и бифуркации решения ^/ = 0 следующего интегро-
дифференциального уравнения:
Л
+ ( 1 -В) U (t, х) - J {sin х sin у + b sin 2х sin 2у\ х
о
X {U(t, y) + U*(t, y)}dy = 0, (VI.120)
где U - вещественная функция, определенная для t~^ 0, О^Сх^Сл,
непрерывная и один раз непрерывно дифференцируемая по t. Параметр b
фиксирован и удовлетворяет условиям 0 < b < 1; ц-бифуркационный параметр.
U (t, х)-непрерывная функция от х на интервале О^х^я для каждого
фиксированного t^O. Мы проводим различие между функцией U (t, •) и
значением функции U (t, х) при некотором х. Поэтому определим
del def
u(t)=[u{t)](-) = U(t, •),
где U(t, •) ^ С[0, л] принадлежит пространству непрерывных функций от х ?
[0, л]. В этих обозначениях t играет роль параметра и значение функции
для х есть [u{tj\{x) = U (t, х). Тогда можно (VI. 120) представить в виде
-^г = Мв|и) + С(и, и, и), w (/) ^ С [0, л], (VI.121)
где и(/)?С[0, я] означает, что [н(/)](х) - непрерывная функция на [0, я],
Uа (В 1 U (0)] W = - (! -В) U{t,x) +
л
+ -¦ J [sin х sin y + b sin 2x sin 2y] x U (t, y)dy
0
M Подробное изложение см. в монографии Пимбли, указанной в литературе к
гл. 1.
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
117
Л
[C(u(t), u(t), u(t)] (х) = -| J [sin x sin i/-j-6 sin 2x sin 2y] I/3 (*,
y)dy.
0
Мы хотим вычислить стационарные решения (VI. 121) и исследовать их
устойчивость. Сначала отметим, что и = О-решение (VI.
121).
Для того чтобы исследовать устойчивость решения и = О, рассмотрим
спектральную задачу
ац = /Лр|"). (VI.122)
Говорят, что значения а (р.), для которых существуют
решения
v=? 0, принадлежат спектру оператора ДДр|-)* Точнее, спектр можно
определить как множество специальных значений а, для которых задача
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed