Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
рядов от амплитуды
Сначала определим амплитуду как проекцию на собственное подпространство,
ассоциированное с сопряженным собственным вектором у1 - у1(0),
принадлежащим собственному значению ?х(0) = 0:
def
e = <u, yf>. (VI.7)
Затем будем разыскивать решения в виде степенных рядов по е:
и (е)
(VI.8)
_ еИ
р (е)
Будем предполагать, что f (р, и) аналитическая х) по (р, и) в окрест-
J) Если f (р, и) достаточно гладкая, но не аналитическая, наше построение
дает производные от и (г) и р (е) до некоторого порядка, а усеченные ряды
Тейлора (VI.8) дают асимптотическое разложение решения.
92
ГЛАВА VI
ности (0, 0). После подстановки (VI.8) в (VI. 1) находим в результате
приравнивания нулю совокупностей членов одинакового порядка:
(0| u1) = 0, (VI.9),
fa (01 u2) + 2Ix1f"n (0 | u,) + ha (0 | u, | u,) = 0, (VI. 9),
h I Цз) + 3p,faaa (^ I Ul I ui) + 3|i?fu(in (0 | U,) +
+ 3p,f"n (0 I u2) + 3faa (0 I u, I u2) +
+ 3p2fU(1 (0 | Ul) + fBBa (0|u1|u1|u1) = 0, (VI.9),
и вообще
f " (01 u") + nH'.Ju" (01 Ul) + ka = 0, (V 1.9),
где k" зависит от членов более низкого порядка. Уравнения
(VI.9)
необходимо решить, принимая во внимание условие нормировки (VI.7),
которое приводит к условиям
<и1( Ух> = 1, <ии, у,> = 0 для п> 1. (VI.10)
Решение задачи (IV.9)j и (VI. 10) получаем немедленно, так как задача
на собственные значения fa (01 u,) = A (0)-u, = 0 g <u,,
у1>==1
имеет только одно решение:
u, = x,. (VI.11)
Таким путем мы исключаем решение u = 0 (VI. 1).
Другие задачи в общем случае неразрешимы. Однако они могут быть сделаны
разрешимыми, если должным образом выбрать производные от р(е). Метод
такого выбора описывается ниже.
Теорема о разрешимости (альтернатива Фредгольма). Для заданного g ? R2
уравнение
ta(°|u) = g (VI. 12)
разрешимо относительно u ? R2 тогда и только тогда, когда
<g, у,> = 0. (VI. 13)
Доказательство. Условие (VI. 13) необходимо, так как
<f"(0|u), yi> = <u, Т2(01уг)> = 0.
Для доказательства достаточности отметим, что fB(01 и) = А (О)-и, так что
a(lu, +bau2-^i = 0,
• л r\ (V 1.14)
c0u,+d0u2-g2 = 0.
Расписывая в скалярной форме f * (01 у,) == А г (0) - у, = 0, имеем
°W/ii +сп</гг = 0>
b0ytl + duyM = 0,
<g, yi> = gi(/n+g2"/i2 = 0. (VI.16)
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ
93
Уравнения (VI. 15) и (VI. 16) показывают, что два уравнения (VI. 14)
линейно зависимы; в сущности, у нас одно уравнение, и его можно
разрешить, например, относительно для любого заданного значения и2. -Для
того чтобы сделать решение единственным, необходимо добавить какое-нибудь
условие нормировки, например условие
<и, у 1> = u1yu+u,y12 = k (VI.17)
для любого k, скажем, равного 1 или 0, как в (VI. 10), или е, как в
(VI.7). Мы получим единственное решение (ых, и2), решая (VI. 14) и (VI.
17). В действительности достаточно одного из уравнений (VI. 14), другое
будет удовлетворяться автоматически.
Для (VI.9)2 условие (VI. 13) с учетом (VI. 11) принимает вид
2|Xi(*"|А (01 *i), yi> + Дай (0 I xi I Хх)> Ух> = 0. (VI. 18) Кроме того,
из (IV.27) имеем
<f"n(0|xi), у1> = <А'(0)-х1, У1> = ?'(0)>0. (VI.19)
Следовательно,
2(i1SH0) + <f"(0|x1|x1), ух> = 0. (VI.20),
Поскольку |' (0)^=0, то (VI.20)j можно разрешить относительно рх. Затем
можно найти единственное и2, удовлетворяющее (V1.9)2 и (VI. 10).
Тем же способом получаем
3p2i;(0) + 3<faB(0|x1|u2), Ух> + (faaa (0 | хх | Xj | Xj), У1> +
+ 3p1<W(0|x1|x1), y,> + 3p? <fUnn (01 xx), y^-f-+ 3p1<fB^(0|u2), Ух> = 0,
(VI.20),
что приводит к определению р2 и u3 в результате решения (V1.9)3 и (VI.
10). Вообще уравнение
"ри-1^(0) + <к", Ух> = 0 (VI.20),
служит для определения рп и un_j (в результате решения
(VI.9)4 и
(VI. 10)) в виде функций от коэффициентов более низкого
порядка.
§ VI.3. R1 и R1 как проекция
Уравнения (VI.19) и (VI.20) представляют собой, по существу, уравнения в
R1, получаемые в проекции на хх. Поучительно сравнить эти уравнения с
уравнениями, которые имеют место непосредственно в R1. Для того чтобы
провести такое сравнение, положим F (р, е) = f (р, е), где f (р, 0)
приведена к локальной форме. Тогда
(11.52) является R1-аналoгoм (VI. 19), и если <х(Д (0) заменить на ?(
(0), то (II.52) примет вид
ЕН0) = Д*Д0, 0) > 0. (VI.21)
94
ГЛАВА VI
Мы можем получить р", п~^- 1, разлагая f(p, (е), е) по степеням е при 8 =
0. Отождествляя независимые степени е и используя (VI.21), находим
+ 0)=о,
3|i2ii (0) +/еее (0, 0) + Зрх/еер + = 0, (\I.22)
Щп-ill (0)-И" = 0,
где kn зависит от коэффициентов более низкого порядка. Таким образом,
(VI.21) и (VI.22), которые имеют место в IR1, почти тождественны с (VI.
19) и (VI.20), полученными в IR1 как проекции.
§ VI.4. Устойчивость бифуркационного решения
Обратимся теперь к исследованию устойчивости стационарных бифуркационных
решений в R2. Для любого стационарного бифуркационного решения (р(е), и
(г)) имеем f(p(s), ы(е)) = 0. Бесконечно малое возмущение v решения и (е)
удовлетворяет уравнению
^ = fa(p(e), u(e) | v), (VI.23)
где в R2
