Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
собственному вектору ?* оператора f"(0| ), соответствующему сг = 0.
Анализ идентичен анализу, проведенному для случая, когда и принадлежит
R2, при этом следует иметь в виду, что добавочная малая часть w,
определенная в (VI.30), представляет собой некоторый тип "суперпозиции
всех других мод"- собственных функций оператора fa(0|). В R" существует
п-1 других мод. С другой стороны, для дифференциальных уравнений с
частными производными такие суперпозиции, даже бесконечные суперпозиции,
не всегда возможны. Однако всегда можно определить w как вектор,
ортогональный ?*.
В задачах общего типа в Н основным моментом является проверка
применимости альтернативы Фредгольма. Говорят, что альтернатива
Фредгольма применима, если необходимое и достаточное условие разрешимости
уравнения
К (О I v) = w, v ея (VI.60)
состоит в выполнении соотношения
<w, ?*> = 0 (VI.61)
для всех ?*, таких, что fa(0|?*) = 0. Тогда решение v
определяется
с точностью до элементов ?, удовлетворяющих уравнению fa (01 ?) =
0.
106
ГЛАВА VI
В случаях, уже изученных нами, размерности нуль-пространств операторов
fB(0|-) и Га (01 ) совпадают. В этой главе мы имеем одно-или двумерные
нуль-пространства, ассоциированные с собственным вектором ?, и одно- или
двумерное сопряженное нуль-пространство, ассоциированное с ?*. Поэтому
можно найти единственное решение v уравнения (VI.60), удовлетворяющее
<v, ?*> = 0 (VI.62)
для всех из нуль-пространства f"(0| ).
Тогда можно смотреть на теорию § VI.2 как на соответствующий метод
проекции в случае бифуркации в алгебраически простом собственном значении
в R" или в гильбертовом пространстве. Придерживаясь последовательности
изложения, которая была уже принята при анализе задач в R1 и в R2, мы в §
VI. 10 дадим анализ проекции изолированных решений, которые разрушают
бифуркацию в двойном собственном значении с индексом, равным двум, а в §
VI. 12 применим этот метод для исследования бифуркации в двойном
полупростом собственном значении с индексом, равным единице.
§ VI.10. Метод проекции для изолированных решений,
разрушающих бифуркацию в простом собственном значении (теория
несовершенств)
Рассмотрим эволюционное уравнение вида
-J- = <F(p, и, 6) для и в Я, (VI.63)
где Я есть IR" или некоторое другое функциональное пространство,
определенное для бесконечномерных задач, таких как задачи с
дифференциальными уравнениями в частных производных, удовлетворяющими
условиям, принятым в §§ VI.6-8. Далее будем считать, что и = 0 есть
решение уравнения
W (р, и, 0) = 0, (VI.64)
которое строго теряет устойчивость, когда р, возрастая, проходит через
нуль. Отсюда следует, что (VI.64) имеет двойную точку бифуркации (р, и) =
(0, 0). Спектральная задача, связанная с анализом устойчивости решения и
= 0, описывается уравнением
<ЧН')&(Н') = '^и(Н', °> 0 1 g (и))-
Для критического значения а (0) = 0 есть изолированное простое
собственное значение оператора <Fa(-) и сопряженного оператора <f^( )> т.
е.
def
F.(C) = FB(0, 0, 0|?) = 0, ? = 5(0), (VI.65)
МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ 107
F*B(?*) = 0. (VI.66)
Все другие собственные значения оператора аГа(-) имеют отрицательные
вещественные части. Оператор fa(-)> такой, что уравнение
r"(v) = f (VI. 67)
имеет единственное решение с точностью до аддитивного члена,
пропорционального вектору ?, который удовлетворяет уравнению (VI.65),
если
<f, ?*> = 0, (VI.68)
где ?* удовлетворяет уравнению (VI.66), и
v = ? + w, <w, ?*> = 0; (VI.69)
w = (F"1(/), а представляет собой корректно определенный:
оператор, обладающий свойством <<F^1(*). ?*> = 0 для любого f,
удовлетворяющего условию (VI.68). Строгая потеря устойчивости решения и =
0 уравнения (VI.64), когда р., возрастая, проходит через нуль, приводит к
неравенству
м°) = <^. (?).?*>> 0, (VI.70)
где
def -
aFnu(-) = 3rnu (0, 0, 0|.).
Обращаясь теперь к (VI.63), будем считать, что б мало, и будем
разыскивать изолированные стационарные решения, разрушающие бифуркацию в
(0, 0), при условии, что
о. (VI.71)
det -
Напомним, что aF6 -JFe(0, 0, 0). Удобно ввести амплитуду
def
е = <и, ?*>. (VI.72)
Условие (VI.71) и теорема о неявной функции гарантируют существование
решения и(р, е) и 6 = Д(р, е) уравнений
Г (р, и(р, е), Д(р, е)) = 0, е = <и(р, е), ?*>. (VI.73) Полагая в (VI.73)
е = 0, находим, что
и(р, 0) = 0 и Д (р, 0) = 0. (VI.74)
Дифференцирование (VI.73) по е при е = 0 приводит к соотношениям ^а(ие) +
<ГбЛе = 0, 1=<ие, ?*>. (VI.75)
Из условия разрешимости (VI.68) получаем Де = 0 и
ue = ?. (VI. 76)
108
ГЛАВА VI
Вторые производные от (VI.73) имеют вид
?a (Uee ) + ?аа (С 16) + ?6 Д88 = О, (VI. 77)
(°це)+• аГци (?) + (Fa Дце = о, (VI.78)
где иее и ице ортогональны ?*. Условие разрешимости (VI.68) приводит к
равенствам
д (.?аи(?|?)> mi -7П\
Дее_ <?6, g*>-1 {VL79)
д ^*У °ii (0) , p. o/-)\
д"' <FTF> WTF>*0' (VI'80)
Если Дее и Др,е удовлетворяют (VI.79) и (VI.80), то (VI.77) и (VI.78)
можно единственным образом разрешить. Обращаясь теперь к третьим
