Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
+ ul+ О (| р 11| и ||2 +1 р I2 II и || +1| и |р),
описываемую теорией, построенной в § V.7 и § V.8.
(I) Покажите, что если искать бифуркационные решения в форме
"i=s, u2 = ey(s), p = sA(s),
то получатся только два стационарных решения, ответвляющихся от нулевого
решения:
(1) и1 = &, и2 = 0{г2), р = -е + 0(е2),
(2) Ui=s, "2 = -2s + 0(e2), p = 3s-j-0 (s2).
(II) Покажите, что если искать бифуркационные решения в форме
н2 = е, "1 = ех(е), р = еХ(е),
то также получатся два бифуркационных решения. Первое совпадает с (2).
Второе имеет другой вид: (3) и1 = 0(е2), "2 = е, р = -s + 0(s2).
(III) Покажите, что если искать бифуркационные решения в форме
"1 = "1 (р), "2 = "2 (и).
то получатся одновременно три решения (I), (2), (3).
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ в ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 87
Замечание. Здесь имеют место соотношения doYio-boVm = 0 и с2а10-а'0гхы =
О, из которых следует, что в случаях (I) и (II) "кубическое уравнение"
(V.26) приводится к квадратному уравнению.
V.3. Рассмотрим систему
du\ . . 2 , ,8
= -f- \IU2 ^1"2 "Ь ^2"
^=ргц - ри2 + 2и\ - 2ихиъ
описываемую теорией, построенной в § V.7 и § V.8.
(I) Покажите, используя метод § V.8, что получатся только два ненулевых
бифуркационных решения: (1) их = - ц + 0(ц2), и2=-ц+0(р,2), (2) щ
=
= - -g'M' + Ofri2), uz - ~2'И- + (r)(И-2)-
(II) Покажите,' что метод § V.7 дает третье бифуркационное решение вида
(3): и2 = г, u,=s2 + 0(e3), р = -2s2+0 (s3).
Замечание. Это решение обусловлено тем обстоятельством, что два
конических сечения
их -f- и2 -}- их -}- ихи2 = О, и\ - "г + 2"1 - 2 ихи2 = О имеют общую
асимптоту. Эта общая асимптота отвечает третьему решению, построенному в
(II) методом § V.7 при Я,о=0.
V.4. Рассмотрим систему (S±)
dux 2,2. 2
ЦИ2-"1 + "2 ± Ц"1"2.
йи2 2 , 2
-jjj- - - fXW2-{- UX-\-U2>
которая описывается теорией § V.7 и § V.8. Построить стационарные решения
(1) их =и2 =0,
(2) "1=0, "2 = р
и показать, что (3) не существует других решений системы (S+), а система
(S_) имеет два других решения.
V.5. Рассмотрим систему
=[Ш2 -(- "1 ("1 -f- и|),
^Г = - Ц"1+"2 ("1+И2),
которая описывается теорией § V.7 и § V.8. Покажите, что бифуркация
отсутствует.
Замечание. В этом случае "конические сечения" вырождаются и метод
неприменим.
V.6. (Вторичная бифуркация, получаемая при расшеплении двойного полу-
простого собственного значения, сохраняющего симметрию.) Рассмотрим
систему
88
ГЛАВА V
которая инвариантна относительно преобразования и2->-и2. Эта система
описывается теорией § V.8.
(1) Покажите, что два конических сечения представляют собой гиперболы,
пересекающиеся в двух точках (включая (0,0)), если с > 1, или в четырех
точках, если с< 1. Покажите, что направления их асимптот чередуются (как
в примерах V.1-3 в § V.9). Покажите, что стационарные бифуркационные
решения имеют
вид
("1, и2)
=0,0,. ), (f.-trrtr,
(2) Исследуйте устойчивость нулевого решения и бифуркационных решений
(с Ф 0, 1). При с > 1 покажите, что начало и бифуркационные решения
представляют собой узлы с разным характером устойчивости. При с < 1
покажите, что начало является узлом (устойчивым при р < 0 и неустойчивым
при р > 0); (р, 0) - седло, а (p/с, ± (p/с) У~1 - с) представляют собой
седловые точки, если
с < 0, и узлы, если 0 < с < 1 (устойчивые при р > 0 и неустойчивые при
р<0).
(3) Рассмотрим теперь систему "с дефектом"
dlli 2 , 2 ,
-=ри,_й1 + ц2 +а, (2)
-jj- == рU2 - CUlU2 -(- Р"2>
которая получается в результате возмущения системы (1) при добавлении
возмущений, сохраняющих инвариантность относительно преобразования и2 -
>¦- и2. Задача теперь заключается в том, чтобы показать, как при
возмущении происходит бифуркация, описываемая условиями раздела (1).
Покажите, что стационарные решения (2) даются в (и,, и2, р)-пространстве
двумя коническими сечениями, определяемыми уравнениями и2 =0, pux - а = 0
(гипербола с центром в 0, лежащая в плоскости и2 = 0) и
р=сиг - Р, (с-\)и\-\-и%-Puj + a=0,
что определяет эллипс при с > 1 и гиперболу при с < 1, лежащие в
плоскости, параллельной оси и2(см. рис. V.11). Заметим, что если р2 > -4а
и
^-(И + Р)2-7-(И + Р)-">0,
то существуют четыре стационарных решения (ult и2) уравнений (2).
Покажите, что если Р2 + 4а(1-с) >0, то существуют две бифуркации
("вторичные бифуркации"), а если |32-}-4а(1- с) < 0, то существуют 3 или
4 изолированные ветви в зависимости от того, будет ли с > 1 или с< 1, и
здесь отсутствует бифуркация.
Замечание. Вообще говоря, дефект, вносимый в систему, имеющую бифуркацию
в двойном собственном значении, разрушает бифуркацию, как и в одномерных
задачах. Параметром, который описывает вносимый в систему дефект,
является а. Если а = 0, то мы получаем вторичную бифуркацию для всех j) Ф
0, где Р есть параметр, который расщепляет двойное собственное значение о
= 0 при р = 0 спектральной задачи, связанной с анализом устойчивости
решения (ии и2)= 0,
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 89
на два простых собственных значения о = р и а = р+р. Мы получим вторичную
