Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
jG0(r, r')T(r')eto'dV = ^
<k + q | V 1 k) i(k+q)r (k + q)a-k2
q
(2.122)
(2.123)
усвяз __ ^ UaPa =2 Ua | a> (a |.
a a
(2.124)
58
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
В силу (2.123) имеем
усвязгр = 0_ (2.125)
Следовательно, если прибавить (2.125) в правую часть (2.112), то
равенство не нарушится, и можно записать
Ч'=<р + С01УЧ', (2.126)
где мы ввели псевдопотенциал ТУ (г):
W {г) = V (г) -4- 2 Ua (г) | а) <а |. (2.127)
а
Этот псевдопотенциал обладает теми же свойствами с точки зрения теории
рассеяния, что и исходный (дает ту же самую волновую функцию), но с точки
зрения теории возмущений он может быть гораздо слабее исходного. Чтобы
убедиться в этом, вычислим его формфактор (см. (1.23)):
<k + q | ТУ | к) = <к + q j У j к) + 2 <к + q I Va |a> <a | k>.
(2.128)
Предположим, что можно выделить область радиусом R" в которой
локализованы волновые функции Фа; фактически это - область ионного
остова, который сформирован из связанных состояний. Внутри этой остовной
области функции Фа составляют полный набор в том смысле, что при г < Rc,
г'^Rc (ср. с (2.10))
2Ф"ООФ"(г) = 6(г'-г). (2.129)
а
Определим Ua(r) как
(-У (г), г</?с,
0, г > Rc.
Ua(r) = U( г)
В результате получаем <k + q 11У | к) = <к + q | У | к) + <к + q | V \ к)
4я
оГ
j e-kk+4)r7(r)eikrd8r> (2Л30)
О
вне ионного остова
т. е. мы действительно "выкинули" всю внутреннюю область потенциала,
ответственную за связанные состояния!
Итак, мы доказали следующую теорему существования псевдопотенциала: к
исходному потенциалу можно прибавить другой достаточно произвольный
потенциал, но, с точки зрения теории рассеяния, исходный потенциал не
изменится.
В общепринятой теории псевдопотенциалов доказывается сходная теорема о
том, что прибавление выражения вида (2.124)
§ 4. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ И ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЫ
59
не изменяет собственных значений энергии в уравнении Шредингера. Эта
теорема называется теоремой Остина - Хейне - Шема [54, 59, 60].
4. Оптимизация псевдопотенциалов. В силу произвольности Uа существует
множество псевдопотенциалов. Теорема Остина - Хейне - Шема утверждает
только возможность отыскания псевдопотенциала, но оставляет открытым
вопрос о минимальности возмущения, вносимого им в электронный газ. В
литературе принято говорить, что нсевдопотенциал должен быть
оптимизирован. Критерии оптимизации могут быть разными, одним из них
является требование отсутствия связанных состояний.
Из рассмотрения § 3 следует, что осцилляции волновой функции внутри
потенциала обусловлены наличием связанных состояний. Следовательно, если
потребовать, чтобы волновая функция не имела осцилляций, и построить
соответствующий псевдопотенциал, то он будет вполне пригодным; если же
вдобавок потребовать, чтобы функция была максимально гладкой, то он
окажется наилучшим. Это будет означать и хорошую сходимость рядов теории
возмущений.
Этот критерий оптимизации предложен в 1961 г. Коэном и Хейне [61]. Он
может быть применен не только к модельным, но и к ОПВ-псевдопотепциалу
(см. §§5, 12), причем в последнем случае оптимизация приводит к замене
неизвестной энергии Е в (4.31) на то или другое приближение [60]
(например, на выражение для закона дисперсии в первом порядке теории
возмущений, что и было получено Коэпом и Хейне). Заметим, что различие
ОПВ-псевдопотенциалов, возникающее из-за использования различных
начальных приближений для закона дисперсии, может быть приписано (или,
точнее, им описано) смещению ос-товных уровней иона Еа под влиянием
соседних атомов [62]. Такое смещение действительно существует и может
достигать больших абсолютных величин [63-65].
К сожалению, критерий гладкости волновых функций не вполне
удовлетворителен. Дело в том, что можно построить такой слабый с точки
зрения теории возмущений псевдопотенциал, который будет давать
несглаженную волновую функцию.
На этот факт обратил внимание Пендри [66]. Действительно,
рассмотрим уравнение Шредингера
(-V2 + V(r))W =*EW, (2.131)
где V - исходный кристаллический потенциал. Заменим V на произвольный
модельный псевдопотенциал (2.124):
V-+V + VR, (2.132)
^ = 2|a><Fa|?>, (2.133)
а
60
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
где Fa - произвольная функция, а 1а> - остовные состояния. Поскольку 'Т"
как функция зоны проводимости должна быть ортогональна и остовным
состояниям, то если мы подставим
(2.132), (2.133) в (2.131), умножим на Т* и проинтегрируем по всему
пространству, то для определения Е(к) результат будет тем же, как если бы
мы интегрировали исходное уравнение (2.131). Таким образом, можно
записать уравнение Шредингера с псевдопотенциалом (2.132), пусть самым
лучшим из всех возможных, а оно будет давать ту же самую кристаллическую
функцию, обладающую осцилляциями, что и ранее.
Пендри [66] показал, что критерий гладкости пригоден только для
неэрмитова псевдопотенциала, где взаимосвязь между слабостью возмущения и
гладкостью волновой функции оказывается однозначной. В этой же работе был
