Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
расширения, поэтому он тоже меняется периодически по таблице Менделеева.
Известна, например, его корреляция с температурой плавления [42, 45].
Итак, даже краткий анализ свойств кристаллов с точки зрения эффекта
"втягивания заряда" внутрь потенциала показывает, насколько важно
понимать роль, которую играет понятие псевдопотенциала в физике твердого
тела. (С другими проявлениями псевдизма можно познакомиться в работе
[41].)
Таким образом, как мы уже указывали в предисловии, даже такое явление,
как периодичность свойств в таблице Менделеева, весьма естественным
образом объясняется в рамках псевдизма.
Действительно, в результате постепенного заполнения внешней оболочки
электронами с ростом номера элемента наступает "момент", когда эту
оболочку следует определить уже как оетов-ную, поскольку она заполнепа.
Такие периодические переопределения остова с ростом номера элемента как
раз и означают, что потенциал, действующий на валентный электрон,
периодически по таблице повторяется. Но, конечно, это повторение не
точное, с определенными отличиями. Это и есть диалектическое развитие "по
спирали".
Подчеркнем, что сильным рассеивателем является не тот потенциал, который
обладает связанными состояниями вообще, но тот, у которого эти состояния
расположены либо близко к нулевой энергии (см. (2.95)), либо могут
появиться при малом изменении потенциала (виртуальные состояния по
терминологии [22]), или же тот потенциал, который обладает
квазисвязанными (резонансными) состояниями. Последнее видно из
определения времени задержки (2.88) и формулы (2.79):
т ,(Е) = т? (Е) + 2 • (2-96)
(Ei~E) +Г1
§ 3. ПСЕВДИЗМ И РАССЕЯНИЕ
49
Время задержки описывается классической брейт-вигнеровской формулой:
лореыцевская кривая на гладком фоне, обусловленном потенциальным
рассеянием с фазой 71? (Е).
Итак, с точки зрения теории рассеяния, не всякий потенциал, имеющий
связанные состояния, приводит к большим поправкам к закону дисперсии для
свободных электронов (Е = к1) в (1.31). Таким образом, возникает
парадокс: с одной стороны, ясно, что поправки к закону дисперсии
свободного электрода малы, а с другой стороны,- ряд теории возмущений,
предназначенный для их вычисления, расходится!
Интуитивно ясно, что область, заштрихованная па кривой потенциала на рис.
1.7, г, не давая вклада в фазовый сдвиг, приводит к расходимости ряда
теории возмущении. Эту область нельзя просто "отрезать", поэтому нам надо
проанализировать возникновение фазового сдвига более подробно.
2. Метод фазовых функций и псевдопотенцналы. Определим фазовую функцию
тр(г) для всех г, потребовав, чтобы решение уравнения Шредингера имело
вид (2.45) при всех г; фазовая функция гр(г) определена, как в (2.48).
Для устранения неоднозначности, возникшей из-за того, что вместо одной
неизвестной функции (5?;(г)) появились две (СДг) и Siir)), необходимо
наложить дополнительное условие на Удобно, чтобы оно согласовалось с
(2.65):
?&i(r)-=Ct (г) А /, (кг) - St (г) ? nt(xr). (2.97)
Тогда, подставляя (2.45) в (2.25) и выражая Ci через Si, получаем
дифференциальные уравнения для Ct и Si, из которых следует уравнение для
фазовой функции гр(г):
? tg 9г {г, Е) = - xV (г) г2 [ji (xr) - lg rp (г, E) щ (xr)]2. (2.98)
Это уравнение является основным в квантовомеханическом методе фазовых
функций [8, 9].
Проанализируем изменение фазового сдвига с г, мысленно проводя численное
интегрирование (2.98).
Пусть энергия электрона близка к нулю. При г= 0 правая часть (2.98) равна
нулю. В силу (2.47) тр (г => 0) = 0. Увеличение г означает, что мы
последовательно вовлекаем в рассеяние все новые и новые участки
потенциала. При этом фаза медленно растет.
При некотором значении Ri в "проинтегрированной" области потенциала
возникает связанное состояние с нулевой энергией (Ei = - 0), на котором
должно происходить резонансное рассеяние налетающего электрона (?' = +0).
Это значит, что правая часть (2.98) должна быть велика, т. е. производная
4 Л. И. Ястребов, А. А. Кацнельсон
50
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
тоже будет велика; при "появлении" связанного состояния фазовый сдвиг
испытывает резкий скачок. В соответствии с теоремой Левинсона (2.87) фаза
должна равняться nNt.
По мере дальнейшего интегрирования фазовый сдвиг будет претерпевать
скачки столько раз, сколько раз будет "возникать" связанное состояние с
данным I (рис. 1.8).
Когда, например, в потенциальной яме, описываемой линией между точками -
К(1),
возникает связанное состояние с нулевой энергией, то по теореме Левинсона
тр = л. Можно ввести три псевдопотенциала, приводящих к одной и той же
(по модулю я*) малой фазе. Каждый такой (г'-й) псевдопотенциал равен нулю
при г < й[1\ а далее совпадает с V{r) от точки К(г). Разумнее всего
использовать псевдопотенциал с г = 3, показанный на нижнем рисунке жирной
линией.
Если энергия рассеивающегося электрона не равна нулю, то резкие скачки
фазы размываются, а это значит, что положения точек Ri зависят от энергии
