Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ястребов Л.И. -> "Основы одноэлектронной теории твердого тела" -> 24

Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.

Ястребов Л.И., Кацнельсон А.А. Основы одноэлектронной теории твердого тела — М.: Наука, 1981. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): osnoviodnoelektronnoyteoriitela1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 129 >> Следующая

t = V + VG0V + VGoVG0V + ... (2.147)
В силу (2.144), в борновском приближении.оператор t совпадает
§ 5. ФОРМФАКТОРЫ ПОТЕНЦИАЛА И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
63
с исходным потенциалом:
tB = V. (2.148)
Введем парциальный г-оператор, th тогда из (2.145) получим <"' | t |и> =
- + l)tgr\i-Рг (cose*,=
= 2 (2( + 1) "I (Я) Pi (cos еи.и,), (2.149)
I
= <2'150>
В представлении стоячих волн г-матрица имеет сингулярности, вызванные tg
тр. В представлении бегущих волн эти сингулярности важны только для
связанных состояний, поскольку в силу (2.145) г-матрица имеет вид (2.85):
. / т?\ ^ I ' 1 /П i ГМ
ь№ = ~те ЗШ11г = (2Л51>
Сингулярности (2.151) возникают лишь при ctg тр = г, т. е. по (2.84) для
связанных состояний.
К сожалению, в представлении бегущих волн г-матрица неэрмитова:
<х'Ых> ?= UxUlx'))*,
хотя в представлении стоячих волн она была эрмитовой (ср. (2.150)).
Таким образом, непосредственное использование f-оператора в качестве
псевдопотенциала связано с трудностями: в представлении стоячих волн
возможна расходимость ряда теории возмущений из-за сингулярностей г-
матрицы, а в представлении бегущих волн энергия зонной структуры (1.40)
становится комплексной.
Возникает парадоксальная ситуация: ясно, что теория рассеяния включает в
себя теорию псевдопотенциалов как частный случай, но непонятно, как
использовать это обобщение (см. также [68]). Именно поэтому теория
псевдопотенциалов существует пока как отдельная теория.
3. ОПВ-псевдопотенциал в теории рассеяния. Отмеченные принципиальные
сложности с использованием г-матрицы в качестве псевдопотенциала
возмущения возникают потому, что t-оператор является фактически точным
решением задачи. Если бы мы моделировали решение, то на любом этапе
моделирования мы имели бы дело с эрмитовыми операторами, как это видно из
(2.147).
64
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
Рассмотрим поэтому модельный подход к описанию рассеяния.
В первом борновском приближении f-матрица, как это видно из (2.148),
совпадает с потенциалом. В § 3 с помощью интегрального уравнения была
введена фаза рассеяния (2.56), в определение которой входила 52/, т. е.
I-я компонента истинной волновой функции ЧС В первом борновском
приближении Y заменяется на плоскую волну:
Следовательно, 52г в определении фазы заменяется на j\, и мы получаем
Имеется два возможных способа улучшения первого борнов-ского приближения.
Первый из них - это последовательный учет следующих членов в (2.147).
Другим способом является улучшение нулевого приближения (2.152).
Действительно, если каким-либо способом включить часть информации о
потенциале в функцию нулевого приближения, то неучтенная часть потенциала
будет являться возмущением. Чем лучше на нулевом этапе мы смоделируем
рассеяние, тем меньше будет возмущение, тем удачнее будет
псевдопотенцнал.
Заметим, что это - совершенно общий прием физики: подбор исходных моделей
так, чтобы последующее применение теории возмущений было максимально
удачным. С ним в зонной теории сталкиваются всегда при обсуждении
наилучшего выбора пробных функций для построения секулярных уравнений.
Итак, можем ли мы улучшить приближение (2.152)?
Мы рассматриваем упругое рассеяние на потенциале, обладающем связанными
состояниями. Эти состояния заняты, поэтому переход на них невозможен.
Истинная волновая функция Y принадлежит к непрерывному спектру того же
гамильтониана, к дискретному спектру которого принадлежат связанные
состояния. Следовательно, мы можем потребовать, чтобы функция Y была
ортогональна к внутренним состояниям Фа (а - набор квантовых чисел п, I,
т), и это уже будет некоторым учетом действия потенциала.
Итак, искомым нулевым приближением будет плоская волна,
ортогонализованная к внутренним состояниям, сокращенно -
ортогонализованная плоская волна (ОПВ):
(2.152)
(2.153)
(2.154)
§ 5. ФОРМФАКТОРЫ ПОТЕНЦИАЛА И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
65
Коэффициент (Хк,а подбирается из условия ортогональности:
j (г) Хк (г) d3r = О,
откуда
Ца,к= -:^|фа(г)Л3г = ~<а|к>. (2.155)
Возьмем l-ю компоненту от (2.154) по к и по г:
Mw)+'-2nn,|kU0ni(M)> (2.156)
П
где введена радиальная функция Фп1: Ф"гт(г) = 0 ",( I г |) i^(r).
Подставляя (2.156) в (2.56), получаем [69]
tg Л i(E) = tgrif - x2nn,|k|,! j h (y"r) v (О Фт(г)гЧг. (2.157)
П
Выражение (2.157) можно представить в обобщенном борновском виде:
tg тр (Я) = - х j J ji (xr) rWi(r, гД ji (хгД r\dr drv (2.158)
где введен нелокальный псевдопотепциал
6 (г - г.)
-- Ъ Фт(г) ФпЛгi)
Wi(r, rx) = У (г)
. (2,159)
Легко видеть, что это - тот самый псевдопотенцнал, который мы получили,
применив теорему Остина - Хейне - Шема. Для этого достаточно вычислить
формфактор выражения (2.159):
W(r, гД= гДУь^УьК), (2.160)
L
<k+q|lB|k> = <k + q|F|k>-2<k + q|y|a><aik>. (2.161)
a
Мы опять убедились в том, что рассеяние на истинном потенциале можно
трактовать как рассеяние в борновском приближении на псевдопотенциале.
Используя уравнение, которому подчиняются Фа, а затем свойства
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed