Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
предложен критерий оптимальности, который вкратце сводится к следующему.
При введении вместо истинного потенциала общего псевдопотенциала
(2.133) происходит сдвиг собственных значений гамильтониана, в том числе
и остовных состояний. Новые остовные энергии даются выражением
E'a = Ea + (Fa\a}. (2.134)
Это^- просто среднее значение псевдогамильтопиана (-V2 + V + + Вл) на
состояниях |а>.
Для наилучшей сходимости теории возмущений следует избавиться от остовных
состояний. Таким образом, для псевдопотенциала с одним остовным
состоянием достаточным условием оптимальности является
Е'а = 0, (2.135)
что приводит к выражению для псевдопотенциала [66]:
TB=F-?jaXa|. (2.136)
Этот псевдопотенциал является эпергонезависящим и эрмитовым.
В литературе существуют и другие критерии оптимизации. В частности, в
[67] они (кроме критерия Пендри) критически
рассмотрены, и предложен новый прием: минимизация откло-
нений плотности электронов от ее среднего значения. С одной стороны, это
близко к идее гладкости псевдоволновой функции, .а с другой стороны - к
идее подбора псевдопотенциала, минимально возмущающего электронный газ,
т. е. к построению псевдопотенциала "минимального возмущения" (см. § 10).
Наилуч-шим критерием, видимо, служила бы минимизация отклонений
кристаллической плотности (т. е. построенной с учетом экранирования) от
ее среднего значения. Такой псевдопотенциал вно-
§ 5. ФОРМФАКТОРЫ ПОТЕНЦИАЛА И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
61
сил бы действительно минимальное возмущение в электронный газ. Этот
критерий пока что не использовался.
В § 11 мы введем псевдопотенцнал Пендри (2.136), не прибегая явно к
оптимизации псевдопотенциала.
§ 5. Формфакторы потенциала и теория рассеяния
В § 3 мы показали, что вместо истинного потенциала можно точно ввести
псевдопотенцнал, а приближения начинаются только при использовании теории
возмущений.
Метод псевдопотепциала, существующий в зонной теории, предполагает
использование формфакторов, тогда как теория рассеяния с ними не
оперирует. В § 4 мы получили формулу (2.122), содержащую формфакторы под
знаком суммы. Эта формула уже сыграла свою роль; теперь мы подойдем к
вопросу введения формфакторов в теорию рассеяния песколько по-другому.
1. Амплитуда рассеяния. Рассмотрим снова интегральное уравнение (2.4).
При г ~^ °° можно приближенно записать функцию Грина (2.12) в виде
С0( г,г') = -~е"', (2.137)
где мы ввели волновой вектор рассеянного состояния
х'^х-Ц. (2.138)
I г j
С учетом (2.137) имеем из (2.4), полагая фх = |и>:
4V= Ф•* + /(", и')щ, ' (2.139)
/(х, x')--^-<x'|Fl^x), (2-140)
где множитель Уй возник из определения: |х> = Й~1/2 exp (ixr).
Выражение (2.139) имеет обычный смысл "подмешивания" нерегулярного (при г
0) решения к регулярному. Величина рассеяния характеризуется функцией
/(х, х'), которая называется амплитудой рассеяния [20, 25]. Амплитуда
рассеяния занимает одно из центральных мест в теории рассеяния.
Введем l-ю компоненту амплитуды рассеяния ft (парциальную амплитуду
рассеяния), разлагая /(х, х') по полиномам Лежандра Pt, зависящая от
в*,*'- угла между векторами х и х' (при этом используем нормировку (2.56)
и то, что х2 = (х')2 = Е):
/ (и, *') = 2 (21 + 1) и (Е) Рг (cos еХ|Я,). (2.141)
62
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
Легко видеть, что fi(E) определяется выражением
П{Е) = у^Чг\1{Е). (2.142)
Если использовать для Ч^ комплексное представление (бегущих волн), то
величина fi станет комплексной и будет определена выражением (2.85). В
литературе по теории рассеяния так и делается; правая часть (2.142)
называется тогда не амплитудой рассеяния, а if-матрицей. Эту разницу
названий следует иметь в виду читателю, который обратится к другим
руководствам и найдет "противоречия".
Вернемся к борновскому приближению. Из (2.140) ясно, что, заменяя Ч^ на
<ри, мы вводим в теорию рассеяния формфакторы потенциала. Приближенно
можно сказать, что смысл борнов-ского приближения состоит в том, что мы
переходим от тангенса фазы рассеяния на потенциале к формфактору этого
потенциала:
/в(х,х')=-^<х' |F|x>. (2.143)
Формула (2.140) верна как для слабого, так и для сильного рассеяния.
Переход от (2.140) к (2.143) возможен только для слабого рассеяния. Для
полного обоснования метода псевдо-потенциалов с точки зрения теории
рассеяния следовало бы иметь формулу с формфактором и для сильного
рассеяния. Как это сделать?
2. t-матрица. Введем такой оператор t, что результат действия t на
невозмущенную функцию Фх будет совпадать с результатом действия оператора
V на возмущенную функцию Ч/х:
*фи = VWX. (2.144)
Тогда амплитуда рассеяния будет во всех случаях выражена через
формфактор:
/(х, х')= -^<х'|"|х>. (2.145)
Очевидно, оператор t - обобщение понятия псевдопотенциала.
Формфакторы <х'Ых> составляют матрицу, которая называется ^-матрицей;
часто так же называют и оператор t.
Оператор t подчиняется интегральному уравнению:
*Фк = У (Фх + GoV^x) = V(px + VG0tcpx, (2.146)
которое тоже можно решать по теории возмущений:
