Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
потенциалу, уже не имеющему связанных состояний (псевдопотенциалу). Тогда
по теореме Левинсона &~(0) опять обратится в нуль. Итак,
A Z=g-{E%). (2.92)
Обычно (2.92) применяют при рассмотрении примесных атомов в кристаллах. В
этом случае А1 должно по определению равняться разности в числе валентных
электронов атомов матрицы и примеси, Е% в (2.92) равняется энергии Ферми
матрицы, выражение (2.92) тогда является некоторым условием,
накладываемым на фазовые сдвиги примесного атома. Оно называется правилом
сумм Фриделя. Если использовать правило сумм Фри-деля в виде (2.90) и
быть уверенным, что фазовые сдвиги определены правильно, то из (2.90)
можно найти величину R, которая будет играть роль эффективного радиуса
примеси - макси-
44
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
мального расстояния, на которое действует потенциал примеси. С помощью
эффективного радиуса можно найти предельную концентрацию примесных атомов
в матрице, начиная с которой примеси уже будут взаимодействовать между
собой, и начнется образование примесных зон, т. е. сплав уже нельзя будет
считать разбавленным твердым раствором.
Существует некоторое количество работ, в которых примесный атом
моделировался прямоугольной ямой, глубину которой выбирали так, чтобы
удовлетворить правилу сумм Фриделя (2.92). Полученные таким образом
фазовые сдвиги использовали для расчета остаточного сопротивления,
обусловленного примесями. Было найдено [36-39] качественное согласие с
экспериментом. Правило сумм Фриделя даже без учета интеграла в (2.90)
оказывается довольно надежным орудием расчета.
Возникает закономерный вопрос: чему равна фриделевская сумма в случае
чистого кристалла? С одной стороны - это разность валентностей матрицы и
"примеси", т. е.- нуль. С другой стороны - это число электронов, которые
в модели ПСЭ были сняты с атома при образовании иона и должны быть ему
возвращены, когда ион появляется в кристалле, т. е. фриделевская сумма
должна равняться отнюдь не нулю, а валентности атома 2. При таком подходе
правило сумм Фриделя для примеси (2.92) тоже выполняется. Налицо -
некоторый парадокс, решение которого мы отложим до § 10.
Интеграл в (2.90) является знакопеременной функцией от R, т. е. AZ
осциллирует с изменением R. Чтобы понять происхождение этого эффекта,
рассмотрим изменение I-й компоненты плотности электронов с расстоянием от
центра. Начнем со случая свободных электронов.
Число электронов с данным I на большом расстоянии от начала координат
можно записать в виде
Е% _
Рсвоб(г)~| VЕ]\ (xr) dE =
О
= -рг (г \П?г ~ тsin (2r V^r ~6г)- isin 6г)' (2-93)
где введена фаза б; = i/2ln. Кроме основного члена, пропорционального г-
2, имеется осциллирующая добавка, спадающая, как г-3.
Если же в начале координат находится рассеиватель, то для Ррас
справедлива формула (2.93) с заменой б; на '/22я - тр:
Ар1 (г) = Ррас Рсвоб
~ (~з1} sin Тр [cos (2г УЕ9р + тр) + cos тр (.Ер)]. (2.94)
§ 3. ПСЕВДИЗМ И РАССЕЯНИЕ
45
Избыточная плотность, вызванная присутствием рассеивателя, спадает, как
г-3, и имеет осциллирующий с расстоянием член, называемый фриделевскими
осцилляциями. Наличие этих осцилляций приводит к осцилляциям ДЪ. Обратим
внимание на то, что в (2.94) имеется еще и не осциллирующее слагаемое,
которое в книгах по зонной теории обычно не приводится.
С распределением плотности (2.94) связан кулоновский потенциал Иэ(г),
который тоже должен действовать на электроны, в частности и на те,
которые его создают. Начав с потенциала конечного радиуса действия, мы
пришли к дальнодействующему потенциалу (см. рис. 1.5, в). Таким образом,
наши вычисления не являются самосогласованными. Более того, имея дело с
потенциалом VB, мы уже не сможем считать, что тр ^ щ(г), как
предполагалось при выводе (2.90) и (2.94).
Тот факт, что в электронном газе не может быть короткодействующих
потенциалов, играет очень важную роль в теории твердого тела: с помощью
подобных потенциалов реализуются все эффекты межатомного взаимодействия.
В § 7 мы увидим, что потенциал межатомного взаимодействия, введенный в
гл. 1, тоже имеет характерные фриделевские осцилляции.
§ 3. Псевдизм и рассеяние
Для обозначения круга явлений, связанных с понятием псевдопотенциала,
удобно пользоваться термином "псевдизм", введенным в [41].
1. Псевдизм и периодичность свойств элементов. Для простоты анализа
возьмем одномерную прямоугольную яму с глубиной Fo, не достаточной для
образования в яме связанных состояний. Волновая функция представляет
собой плоскую волну exp (ikx); вне ямы k = iE, а внутри нее к = 1Е + V0,
т. е. длина волны внутри ямы меньше, чем вне ее; осцилляции волновой
функции чаще. Так возникает разность хода волн (фазовый сдвиг) при
прохождении электрона над ямой сравнительно со случаем свободного
движения.
Возникновение осцилляций - это увеличение кинетической энергии электрона
(чем больше частота осцилляций, тем больше кривизна волновой функции, тем
больше V2^)5 связанное с увеличением (по абсолютной величине) его
