Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
эрмитовости, получаем
<k + q | У | а) =
= "а | V2 + Еа | к + q"* = -(е" - Еа) <к + q | а), (2.162)
<к -q | УУ | к) =
= <k + q|y|k>-2(?a-eq)<k+q|a><a|k>. (2.163)
а
5 Л. И. Ястребов, А. А. Кацнельсон
66 ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
Выражение для формфактора упростилось, но осталось неэрмитовым, что легко
проверить.
Очень интересным представляется тот факт, что этот псевдопотенциал не
зависит от энергии. В данном случае - это просто следствие выбранной
модели для если бы в коэффициенты ортогонализации каким-либо образом
входила энергия, то псевдо-потенциал был бы энергозависим.
4. Псевдонотенциал if-матрицы. Формула (2.156) является приближением и
не учитывает сдвига фазы: при г > Rc, где Rc - радиус ионного остова,
/Дяг). Более строгое рассмот-
рение проведено Хаббардом [69], оно основано на искусственном введении
дополнительных орбиталей [70]. Этот метод был предложен в [71]; в
настоящее время он называется методом Д-матрицы [72, 73]. Идея его очень
проста: поскольку для непрерывного спектра нельзя ввести разложения по
собственным функциям связанных состояний, т. е. нельзя непосредственно
применять мощный аппарат пробных функций (см. гл. 1), то надо эти
связанные состояния создать! Для этого необходимо на решения радиального
уравнения Шредингера (2.25) наложить на границе действия потенциала
какое-либо подходящее граничное условие (ср. § 16). Тогда в непрерывном
спектре возникнут связанные состояния (по которым будет удобно разложить
волновую функцию ЧД а затем использовать вариационные принципы для
отыскания паилучших решений).
В качестве такого граничного условия разумно выбрать требование гладкой
сшивки этих орбиталей Фа с нерегулярными решениями, сферическими
функциями Неймана:
Фа (Я) ЛГ
d ~
Фа
r=R ~ П1 (ХД) АГ
1 d , .
Tr. nl <xr)
(2.164)
r=R
где а включает в себя, кроме I, еще аналог главного квантового числа,
номер уровня, для которого условие (2.164) выполняется.
Собственные значения такой задачи, Еа, в силу (2.164) зависят от энергии,
т. е. для каждого значения энергии рассеивающейся частицы существует свой
набор функций Фа(Е). Для данного значения Е соответствующий набор функций
Фа является полным в интервале от 0 до R для тех функций, которые
регулярны в нуле и гладко сшиваются с щ(кг) при r = R. Тонкость идеи
выбора граничных условий (2.164) становится понятной, когда мы заметим,
что функция (г, Е) - /Дкг) принадлежит именно к тем функциям, которые
гладко сшиваются с щ при г = Д, и, следовательно, может быть разложена по
Фа(г):
Я1(г,Е) = и(кг) + 21СаФа(г,Е). (2.165)
§ 5. ФОРМФАКТОРЫ ПОТЕНЦИАЛА И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 67
Видна близкая аналогия между (2.165) и ОПВ (2.156). Подставляя (2.165) в
уравнение Шредингера (2.25) и учитывая орто-нормированность функций Фа,
получаем выражение для
= (2.166)
а
где
Я
Ва=\ ji(xr)V(r)T*(r)r4r. (2.167)
О
Из (2.165), (2.166) и (2.56) получаем
tgTi,(?) = tgTif(?)-x2F^F- (2.168)
а "
Выражение (2.168) имеет большое формальное сходство с (2.80). Роль
полуширины резонанса здесь играет величина x|5j2, которая при малых
энергиях имеет правильную асимптотику ~и2г+|
(ср. с (2.82)). Заметим, что Еа является функцией от энергии,
что согласуется с (2.81).
Повторяя прием с преобразованием тангенса фазы к обобщенному борновскому
виду (2.158), получаем вместо (2.159) новый псевдопотенциал:
W(r, г.) - W Ф^Ф}^ Г{"') (2-160)
1 (X (r)
с формфактором
<k+q|lHlk> = <k+q|F|k>-^ <k + q|^ll>jga|7|k: ¦ (2.170)
a a
Этот формфактор эрмитов, но является энергозависящим.
Выражение для Ва можно преобразовать так, чтобы возникли коэффициенты
ортогонализации, подобные (2.155). Действительно, используя уравнение для
Ф а, беря интеграл в (2,167) по частям и применяя (2.164), имеем
в° = т ^ - Е"> 5и {г)гЧг• (2Л71)
Предположим, что в исходном потенциале все состояния^ а являются
глубокими, т. е. на границе действия потенциала Фа(Ю = = 0. Легко видеть,
что формфактор для такого потенциала имеет вид
<k + q | П71 k> = <k + q | F | к) --2 (Еа - Е) <к + q | а) <а | к>.
(2.172)
5*
68
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
В общем случае в исходном потенциале V имеются и глубокие и
квазидискретные состояния, т. е. сумма по а в (2.170) включает в себя как
члены, линейные по разности (Еа - Е), так п члены, сингулярные при Е -
Еа, т. е. пропорциональные (Еа-Е)-'.
Интересно, что (2.172) выглядит как обобщение (2.163).
Напомним еще раз ход наших рассуждений. Мы показали, что борновское
приближение (2.152) (ср. с (2.113)) эквивалентно использованию теории
возмущений. Затем мы стали моделировать (это очень важно для понимания
связи между теориями) рассеяние на исходном потенциале с помощью формул
(2.152) и (2.156). Подставив эти формулы в выражение точной теории
рассеяния (2.56), мы потребовали, чтобы оно свелось к борнов-скому
выражению. Именно это требование (требование применимости теории
возмущений) привело нас к псевдопотенциалам (2.163) и (2.170), (2.172).
