Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
теории возмущений модели ПСЭ. Другими словами, мы должны
переформулировать теорию рассеяния так, чтобы в нее входили не фазовые
сдвиги или логарифмические производные, а формфакторы псевдопотенциала.
Тогда можно будет надеяться использовать аппарат теории рассеяния для
уточнения и развития теории псевдопотенциалов.
Рассмотрим интегральное уравнение теории рассеяния (2.4). Запишем его в
формальном операторном виде:
Tf = <p + G"FTf, (2.112)
где 'Р - искомая волновая функция, V - рассеивающий потенциал F(r), G0 -
функция Грина для свободного движения (2.11),
(2.12). Это уравнение в теории рассеяния называют уравнением
Липпмана - Швингера.
Уравнение (2.112) можно решать методом последовательных приближений (т.
е. по теории возмущений), получающийся при этом ряд называется борновским
рядом:
щ ^(p + GoF^ + GoF'F) = cp + G"F(p + G"F<pG"F(p + ... (2.113)
Для построения этого выражения мы могли формально переписать (2.112) в
виде
Чг = (1-С0Р)-'ф, (2.114)
а затем разложить дробь по степеням G0V. Следовательно, условием
сходимости такого ряда служит операторное неравенство:
G0V< 1, (2.115)
которое имеет смысл только при действии на ф. Итак, условие сходимости
теории возмущений в теории рассеяния:
[ ф (г)| > I | G0 (г, г') F (г') Ф (г') dv|. (2.116)
Заметим, что Iф 1 =1 для ф=е'кг. Неравенство (2.116) должно выполняться
при всех г; без ограничения общности можно
56
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
положить г = 0. Для сферически-симметричного потенциала можно выбрать
систему координат так, чтобы вектор к был направлен по оси OZ, Проводя
интегрирование по углам, получаем [581:
Для малых энергий (для рассеяния на изолированном центре Е = к2) можно
разложить экспоненту в ряд. Используя (2.109), получим
Таким образом, при Е = 0 получаем условие сходимости, которое аналогично
условию (2.110). Заметим, что в (2.110) входит только притягивающая часть
потенциала, тогда как в (2.118) - полный потенциал.
Если потенциал имеет отталкивательную часть, то условие (2.110) не
годится как критерий сходимости борцовского ряда
Действительно, легко сконструировать такой модельный потенциал, в котором
будут связанные состояния, а по критерию
(2.118) ряд (2.113) будет сходиться. Возможен и обратный случай,
важный для тех модельных псевдопотенцпалов, которые подбираются из
условия гладкости волновых функций (пет осцилляций 5?;, нет ее нулей,
следовательно, нет сингулярностей ХАг) при r<R, в потенциале нет
связанных состояний). В таком псевдопотенциале может быть большая
отталкивательная часть, равная, например, средней энергии рассеивающегося
электрона: в этой области волновая функция будет практически константой,
а по критерию (2.118) ряд будет расходиться.
Заметим, что 4nB2/Q0 (ср. (2.1.09)) есть, с одной стороны, среднее
значение потенциала Е(г), а с другой стороны, длинноволновый предел (д 0)
его формфактора (1.23). Поэтому можно заранее сказать, что если
то борновский ряд заведомо расходится1).
2. Борновский ряд в теории рассеяния и в теории возмущений.
Убедимся теперь, что теория рассеяния в виде (2.113) и теория
') Забегая вперед, заметим, что в теории псевдопотенциала обычно 2
<kfW |к> = -з"^Г1 т- е' п0 (2.119) ряд теории возмущений для одиночного
2 кр кр
рассеивателя может сходиться лишь при условии Z < - -j- л; 0,6 -?-¦ Для
рассеяпия в кристалле ситуация много сложнее.
(2.117)
(2.118)
(2.113).
Ш21 > 1, т. е. к\ <klF|k>| >4л/?20, (2.119)
§ 4. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ И ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЫ
57
возмущений в виде (1.31) эквивалентны. Для этого рассмотрим первое
борновское приближение для волновой функции:
Удобно сместить начало отсчета, выделив явно вектор к. Учитывая, что
порядок суммирования в (2.121) не важен, имеем
В правой части (2.122) стоит выражение для волновой функции в первом
порядке теории возмущений модели ПСЭ.
Мы доказали, что теория рассеяния переходит в теорию возмущений модели
ПСЭ для слабых потенциалов, которые подчиняются условию (2.115). Условия
сходимости теории возмущений- те же самые, что и борцовского ряда
(2.113), т. е. мы доказали справедливость критерия (2.118) и для теории
возмущений в методе псевдопотенциалов: для всюду притягивающих
потенциалов ряд (1.31) расходится, если эти потенциалы имеют связанные
состояния.
3. Теорема Остина - Хейне - Шема. Докажем теперь удивительную теорему,
которая объяснит нам, что в выражении (2.112) или, что то яю самое,- в
(2.113) или в (1.30) можно "выкинуть" часть потенциала совершенно строго,
и равенство при этом не нарушится.
Пусть в (2.112) Т1-собственная функция гамильтониана # = - V2+n(r) в
непрерывном спектре. Она должна быть ортогональна к связанным состояниям
(дискретному спектру) того же гамильтониана ФаМ с квантовыми числами а =
{/г, I, т):
Составим потенциал, включающий в себя проекционный оператор (см. (2.40)),
на связанные состояния Фа:
гр = е1кГ + j G0 (г, r')F(r')eikr'dV. (2.120)
Легко видеть, что в силу (2.11)
= 2-rzV<"llFlk>- (2.12!)
