Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно видно отличие фазовых сдвигов для s- и d-электропов. Можно сразу
сказать, что d-электроны должны испытывать рассеяние на квазидискретном
уровне, т. е. для описания d-зоны будет хорошо пригодна модель ЛКАО. В то
же время ясно, что хотя s-фаза будет проходить через я/2, это - резонанс
я-тина, т. е. для описания s-зоны модель ЛКАО не пригодна (нет
исходного уровня), и нужна модель ПСЭ. Расчет положения
энергии Ферми для А1 по (1.32) показывает, что
о
'7,0
- 7
1 | -А
\г 5 U 5 f.!-
- j
Рис. 1.4. Фазовые сдвиги для Й1 [34]; использован кристаллический
потенциал.
§ 2. РАССЕЯНИЕ НА ИЗОЛИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
41
Ер <Ei=2, т. е. в кристаллическом А1 будут важны только эффекты s- и р-
рассеяния; зонная структура А1 может быть рассчитана в модели ПСЭ, что
подтверждается на практике.
Обратим внимание, что при малых энергиях фазовые сдвиги подчиняются
правилу:
т)о > ill > Ф > Лз, (2.89)
которое является следствием асимптотики (2.76). Физические причины этого
заключены в том, что центробежный потенциал Ui - l(l+l)r~2 в (2.25)
являет- ущ ся отталкпвательным: он препятствует приближению элек-
трона к началу координат. Чем больше I, тем больше недоступная область,
тем меньше влияние потенциала на движение электрона и тем меньше фазовый
сдвиг. С ростом энергии электрона размеры недоступной области
уменьшаются.
Появление центробежного потенциала - чисто классический результат,
приводящий к следующему интересному квантовомеханическому следствию. При
г 0 суммарный потенциал иафф = F(r) + U,(r) ~ +г-2, при г -°о и0фф г-1.
Очевидно, Ua фф имеет минимум (рис. 1.5, а). Если же F(r) спадает при г
°° быстрее, чем г-2, то асимптотика ?/Эфф ~ -Ьг~2, и, значит,
результирующая функция иэфф{г) должна, кроме минимума, иметь и максимум
(рис. 1.5, б). Квази-дискретный уровень, введенный выше, можно
интерпретировать как резонансные состояния в таком потенциале (рис. 1.5,
б).
На рис. 1.6 показано действительное соотношение между характерными
вкладами в кристаллический потенциал на примере Pt (расчет [351). От-
связанного состояния: а) минимум в потенциале изолированного атома;
б) минимум для потенциала с ограниченным радиусом действия;
в) возникновение фриделевских осцилляций на "хвосте" МТ-потеициала.
42
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
мечены радиус сферы1), вписанной в ячейку Вигнера - Зейтца (МТ-радиус), и
радиус сферы Вигнера-Зейтца; для сравнения показан атомный потенциал.
Заштрихованная область показывает примерное расположение уровней d-зоны.
8. Правило сумм Фриделя. Итак, мы установили, что в зависимости от
энергии рассеивающегося электрона потенциал может
Рис. 1.6. Действительное соотношение между характерными вкладами в
кристаллический потенциал на примере Pt [35].
действовать как притягивающий или как отталкивающий центр. Представляется
естественным взять в качестве интегрального критерия для его
характеристики полное число электронов, рассеявшихся на этом потенциале,
и вычесть из него число электронов, имевшихся в отсутствие рассеивателя.
Для этого мы используем (2.71). Действительно, (2.71) позволяет вычислить
число электронов с энергией Е, сосредоточенных внутри некоторой сферы
радиуса R. Если взять R достаточно большим, то можно использовать
асимптотику (2.52) с нормировкой (2.59):
R
4* f ,
-Q-\R?(r,E)r4r =
О ij
о
= -^(constr)2^-[i?+^ -^sm^2 (хД- + тр))]-
Положив тр = 0, получаем число свободных электронов, сосредоточенных
ранее внутри этой сферы. Вычтем одно из другого:
Дрг (Е) = [тг (Е) - ^ cos (2xR - In+ щ (?))].
') Такую сферу называют "muffin-tin" (МТ)-сферой. Перевод этого термина:
формочка для выпечки сдобы. Обычно говорят: МТ-сфера, МТ-радиус и т. д.
§ 2. РАССЕЯНИЕ НА ИЗОЛИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
43
Это - изменение числа электронов, находившихся в состоянии с энергией Е.
Чтобы вычислить полное число электронов, рассеявшихся на потенциале, надо
умножить ДрДЁ) на плотность состояний, какой она была до рассеяния,
просуммировать по всем I и проинтегрировать результат по всем энергиям от
О до Е\. Имеем с учетом спина:
4
AZ - 2 A J' УеУ(21 + \) Ар* (Е) dE [ дг (?") - дг (0)] -
'о 1
4 t
-l)^3cos(2x/? - In + m)dE, (2.90) 0 1
где введена так называемая фриделевская сумма:
9-(Е) = 4^{21-\~\)щ{Е). (2.91)
i
Интеграл в (2.90) взять аналитически нельзя, если не задать зависимость
грСЁ), но можно оцепить его поведение при больших значениях R: он
пропорционален 1/R. Это легко проверить для случая малых фазовых сдвигов.
Если в потенциале пет связанных состояний, то по теореме Левинсона &~(0)
= 0. Если же связанные состояния есть, то возникает вопрос о выборе
начала отсчета энергии. Если нас эти связанные состояния не интересуют,
то нуль отсчета надо выбрать так, чтобы связанные состояния находились
ниже рассматриваемого диапазона энергий. Тогда мы сможем воспользоваться
неоднозначностью задания фазовых сдвигов и вычесть из пих слагаемые nNt.
Это будет как бы означать, что мы перешли к иному, чем исходный,
