Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
отпадет необходимость в численном интегрировании по области r>Rt.
Заметим, наконец, что если применить эти соображения к модели ПСЭ, то
построение псевдопотенциала будет совсем простым, так как вне ионного
остова функция V(r) заведомо имеет вид (1.26), где Z - число валентных
электронов. Для такого потенциала решения 3ti известны: они называются
кулоновскими функциями [52, 53]. В правой части (2.101) возникает
аналитическое выражение, и определение Ах представляется тогда очень
простым.
3. Псевдопотенциал Ллойда. Теория рассеяния позволяет построить еще
один тип псевдопотенциала, который в дальнейшем изложении будет играть
существенную роль.
Рассмотрим разность ЯДЕ) - 3?i{E), где введена логарифмическая
производная 2(\ для волновой функции электрона без рас-
§ 3. ПСЕВДИЗМ И РАССЕЯНИЕ
53
сеивателя. Разностная логарифмическая производная - характеризует степень
рассеяния. Итак, имеем (ср. с (2.66)):
Здесь использована нормировка (2.55) - (2.57). Окончательно:
Это уравнение связывает разностную логарифмическую производную с
потенциалом, ее обусловливающим. Это соотношение имеет такой же смысл для
К,, как уравнение (2.56) для tg тр.
Очевидно, что кроме истинного V(r) уравнению (2.104) удовлетворяет
следующий псевдопотенциал:
Действительно, подстановка (2.105) как в (2.104), так и в (2.57),
приводит к тождествам.
Псевдопотенциал (2.105) был получен Ллойдом [55] в рамках зонной теории.
Мы видим, что он появляется и при рассеянии на изолированном центре.
Псевдопотенциал Ллойда наводит на мысль, что возможно построение зонной
теории кристалла в рамках модели, отличной от моделей ЛКАО и ПСЭ.
Действительно, из (2.103), (2.67) и (2.57) следует точное равенство:
на потенциале Н(г) от рассеяния на абсолютно твердой сфере
(2.73). Чем больше различие между тр и [)г, тем больше значе-
электронный газ псевдопотенциалом (2.105). Возмущение, связанное с
псевдопотенциалом (2.105), максимально, когда он имитирует твердую сферу.
В этом смысле абсолютно твердая сфера является максимально сильным
рассеивателем, любое
= (tin- gtii'i)/(Шд = -&-• (2.юз)
хД
00
(2.104)
О
Wtr, Я) = [А,,(Д, Е)-ЗГ№, Е)Шг-Ю. (2.105)
в котором введен фазовый сдвиг тр, , впервые использованный Займаном
[56]:
Ctgrp (Е) = ctg тр - щ (-nRJIji (kR). (2.107)
Заметим теперь, что фаза тр описывает отличие рассеяния
ние ctg тр и тем меньше величина возмущения, вносимого в
54
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
отклонение потенциала от этой формы приводит к уменьшению рассеяния.
Следовательно, на этом пути можно построить теорию псевдопотенциала для
сильных рассеивателей. Для этого надо решить задачу о зонной структуре
кристалла, в решетке которого находятся абсолютно твердые сферы, а затем,
взяв в качестве возмущения отличие рассеивающего потенциала от потенциала
абсолютно твердой сферы, искать поправки к полученным решениям. Легко
видеть, что решения исходной модели будут зависеть только от параметра
решетки и от типа решетки. Для каждого данного типа решетки они могут
быть затабулированы; пересчет результатов на новый параметр решетки
производится просто.
Конечно, имеются определенные трудности при отыскании зонной структуры
такого исходного кристалла. Однако аппарат для этого уже существует - это
секулярное уравнение метода функции Грина (см. § 15), в которое входит
именно ctg rp (5.3),
§ 4. Связанные состояния, сходимость рядов и псевдопотенциалы
1. Критерий Баргманна наличия связанных состояний. Итак, теория
рассеяния помогает нам в первоначальном выборе псевдопотенциала. Однако
здесь мы еще не знаем, почему ряд теории возмущений расходится, если в
потенциале есть связанные состояния. Более того, мы не можем быть
уверены, что псевдопотенциал теории рассеяния можно применять в теории
возмущений. Иными словами, мы пока не соотнесли теорию рассеяния с
теорией возмущений, используемой в модели ПСЭ. Данный параграф посвящен
изучению этих вопросов. Если читатель ими не интересуется, то он может
перейти к следующему параграфу.
Получим критерий наличия связанных состояний в потенциале. Для этого
заметим, что формулу (2.59) для фазовой функции можно переписать для всех
г, заменяя в верхнем пределе интегрирования 00 на г.
При пулевой энергии электрона появление связанного состояния приводит к
резонансному рассеянию, т. е. tg rp °°, что возможно лишь при выполнении
условия
(4.56).
(2.108)
о
Введем п-й момент потенциала:
Bn=\V (г) rndr, Вп = f V (г) rndr, (2.109)
о
о
где через V обозначена притягивающая часть Е(г).
§ 4. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ И ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЫ
55
При Е -+¦ О Я|~ /'i(xr). Подставляя асимптотики (2.28) в (2.108), имеем
условие того, чтобы в потенциале не было связанных состояний с данным I:
2Tn-|2i|<l. (2.110)
Полученное нами выражение тесно связано с так называемой теоремой
Баргманна [9, 57], по которой число связанных состояний Nt подчиняется
условию
*'<2пЫг1|- (2Л11)
Следующая наша задача - связать формулы теории рассеяния с формулами
