Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Единственной комбинацией /г и тр, удовлетворяющей этому условию, является
функция Уг4 описывающая расходящуюся волну (см. (2.31)). Следовательно,
сравнивая (2.31) и (2.57), мы получаем условие существования связанного
состояния;
tg тр = - i. (2.84)
Введем функцию ср{ = iy.fi, где
и - - 7(r)"" sin ч, - -зУ.**" - 1). (2.85)
ctg щ - i '• *ш
Заметим, что /t называется парциальной амплитудой рассеяния, ее элементы
на векторах |к> и |k + q> формируют Гматрицу. В плоскости комплексного
переменного амплитуда рассеяния имеет полюсы при энергиях связанных
состояний.
Составим функцию
7, = ^-1п|2",+ 1|.
Проинтегрируем /г по всему интервалу 0 ^ у ^ + °°. Как обычно, контур
интегрирования должен охватывать все полюса функции, которые совпадают с
полюсами /,. Интеграл равен' числу сингулярностей подынтегральной функции
(т. е. числу связанных состояний IV;), взятому со знаком минус, и
умноженному на 2яг (см. [23]). С другой стороны, из определения fi и из
(2.85) ясно, что этот интеграл равен разности 2i[pi(0) - тр(°°)]. В
результате мы пришли к так называемой теореме Левинсона [24] :
т)г(О) - тр(°°) = nNt. (2.86)
Наше построение не является вполне строгим; тем не менее теорема
Левинсона может быть хорошо обоснована [25-27].
Фазы, входящие в (2.86),- это обычные фазы для положительных (Е = + у2)
энергий 1).
') Мы рассматривали одиночный локальный потенциал, обладающий связанными
состояниями только при Е с 0. Теорема Левинсона для нелокальных
потенциалов, могущих иметь связанные состояния при положительных
энергиях, пока не установлена. Недавние попытки [28, 29] рассматривать Nt
в формуле (2.86) как полное число связанных состояний (при E<Q и Е > 0)
оказались некорректными [30]; имеется ряд других [31, 32].
§ 2. РАССЕЯНИЕ НА ИЗОЛИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
39
Из этого рассмотрения следуют два вывода. Во-первых, теория рассеяния
способна давать энергии связанных состояний. Во-вторых, теорема Левинсона
показывает, что существует связь между числом уровней при ?<Ои поведением
фазы при Е > О! Этот удивительный факт позволит нам ввести
псевдопотенциалы.
Обычно фазовый сдвиг доопределяют условием т],(°°) = 0, поскольку ясно,
что при больших энергиях величина Vir) пренебрежимо мала по сравнению с
Е, и уравнение (2.25) сводится к однородному. В этом случае теорема
Левинсона гласит;
щ(0) = nJV,. (2.87)
Единственное исключение из (2.87) - случай ( = 0, если Ег - - 0; тогда
тр(0) = k(/V, + 7J.
7. Истинный и ложный квазистационарный уровни. Переход от
квазидискретного (резонансного) уровня к дискретному происходит при
увеличении силы притягивающего потенциала: уровень Ех понижается,
величина Г( уменьшается, т. е. энергия E\es выходит на действительную
ось. При Et = 0 ширина резонанса тоже равна нулю, и в потенциале
возникает связанное состояние, что сказывается на фазе (рис. 1.3, г).
1
г
I
г
1
2
Ряс. 1.3. Зависимость фазового сдвига тд от энергии Е для потенциалов
разной силы. При переходе от рисунка а к е глубина потенциала возрастает.
На рис. 1.3, б, в видно, что фаза может проходить через л/2 как
возрастая, так и убывая (при энергии Ех). Но с дальнейшим усилением
потенциала низкоэнергетическая часть кривой тд(?) начнет как бы
"вспухать", энергия Ех будет отодвигаться в сто-
40
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ".
рону больших энергий (см. рис. 1.3, г,д). Затем повторится прежняя
картина поведения фазы, но уже сдвинутая вверх на л. Таким образом,
энергия Ех никогда не попадет в область связанных состояний. Это
иллюстрирует рис. 1.3, е, где показано связанное состояние с нулевой
энергией: для того чтобы Ех попало хотя бы в нуль, фазовые сдвиги должны
обращаться в нуль уже при Е = 0. Интуитивно ясно, что это невозможно, п
действительно, существует ограничение снизу на величину производной
dx\JdE [33, 25];
_кд < т, = U^m/dE < + '
(2.88)
Величина тг называется временем задержки электрона при рассеянии.
Отрицательные времена задержки показывают, что электрон распространяется
как бы с опережением свободного, а не с запаздыванием, как было раньше
(это можно увидеть из (2.52)). Ограничение снизу в (2.88) обусловлено
причинностью [25].
Таким образом, резонанс в поведении tg тр при Ех не связан с наличием
квазнднскретного уровня.
Различить резонансы при Et и Ех можно но их ширине. Минимальная шнрниа
резонанса Г(tm)"1 порядка 1/т*. Из (2.88) следует, что Гцх11 tt{RV Ех)^1, и
если ширина резонанса в tg тр" меньше Г"*г\ то можно с уверенностью
сказать, что это резонанс на квазидискретном уровне. Такой прием полезен
при интерпретации эксперимента в атомной физике или при предварительном
анализе зонной структуры твердых тел. Например, на рис. 1.4 приведены
фазовые сдвиги А1 (в радианах), полученные [34] для кристаллического А1,
причем из s-сдвига вычтено 2л, из /ьсдвига вычтено я. Следует обратить
внимание на то, что хотя в атоме А1 нет р- и d-электронов, тем не менее
фазовые сдвиги для р- и d-pac-сеяния существуют.
