Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
правильной, чем (2.24), будет запись;
где удовлетворяет уравнению (2.25).
7. Сферические функции Бесселя, Неймана, Ганкеля. Уравнение (2.25)
всегда имеет два линейно независимых решения - регулярное и нерегулярное
в начале координат. В случае нулевого потенциала решения (2.25) известны
[1, 2], они называются сферическими функциями Бесселя и Неймана
соответственно: iiix), щ{х), где х = кг. Приведем вид этих функций для
нескольких первых значений индекса I:
где величина I в (22±1)П пробегает все значения: 0, 1, 2, ... Эти формулы
дают хорошее приближение для /,-, если х'г < 41 + 6, и для nh если хг < 2
[2].
При х °о асимптотика такова [4]:
Формулы (2.29) являются хорошим приближением в случае х>1{1 + 1)/2.
Амплитуда осцилляций достигает асимптотического значения уже при х ^ 21 с
точностью ~10% [4].
Для обоих типов функций существуют рекуррентные соотношения, справедливые
как для /г, так и для nt:
(2.26)
L
COS X
sin х
X
(2.27)
х'
При х О эти функции имеют асимптотику
/г+i (х) = - х lj^[x Vifc)].
/г-i (х) + /г+i (х) = U (х) (I > 0).
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 27
Вронскиан функций ], и nt отличен от нуля:
Н (х) jf т. (х) - Щ {х) ~ /, (х) = -г. (2.30)
Функции /; и nt связаны с обычными (цилиндрическими) функциями Бесселя п
Неймана ЗАх), 3-Ах) следующими соотношениями:
7! (*) = УЪ^"+1/* (*)• n" (*) = (-1)'+1 Vh3-'-^-
Удобно ввести также комплексные комбинации ), и п(, называемые функциями
Ганкеля:
У? =]'i(x) ± т(х). (2.31)
Асимптотика функций Ганкеля при больших значениях аргумента:
у± ---* Л е±К*-1Я/2\
М Х->оо X
Функции yf и у~ отвечают расходящейся и сходящейся волнам соответственно.
Более подробно о свойствах /; и nt см. [2, 5].
8. Полезные формулы. Примером использования формул (2.23) и (2.26)
служит разложение плоской волны в ряд по
ТЛГ eikr = 7^2*гМИТ?(к)Ут,(г) =
• 0 * '0 L
= HhL(k,T)YL(T), (2.32)
L
где Q0 - нормировочный объем, а
hL (к, г) = -ip- ?г/г (ftr) Yl (к). (2.33)
V о
Сравнивая (2.32) с (2.26), видим, что коэффициент BL в (2.26) для плоской
волны равен 4л?гУт,(к) и никак не может быть опущен.
С помощью (2.32) можно получить формулы для переразложе-ния сферических
функций относительно другого начала координат:
/,(и| г - t|)yt(r - t) = 2 FlvU' {*r) Yl> (г), (2.34)
L'
Flu = 2 Chbjii (nt) Ylx (t).
Li
28 ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
Несколько сложнее выводится формула [6, 7]
ni(x I г - t|) Yl(г - t) = 2KLLrjir (кг) Yl, (г), (2.35)
L'
Кьь' = ЪсЪь^{у.1) Y*Ll(t).
Выражение (2.35) справедливо при |г| < It!.
При использовании кубических гармоник из (2.34) и (2.35) легко получить
аналогичную формулу для функций yf.
Еще одна полезная формула для ФГ (2.12):
I eiy.jr-r'l
4л I г ¦
(tm) 2 h (y-r<) yt (xr>) Yl (г) Уь(г'), (2.36)
где 7'< = min(r, г'), г-, = тахН, г). Такие условия на г и г'
обеспечивают конечность ФГ при стремлении г и г' к нулю.
Можно разбить ФГ на две части - регулярную при г = г' (Gv0es) и
сингулярную (бо1П?):
~ s -''"((-Тг11 ~1т сч' <2-37>
^sing _ 1 COS (х I г - г' |) _ D л
п
I г - г' I
Функция G$eg удовлетворяет (2.5), Gs0lns удовлетворяет (2.3). Если вместо
G0 в (2.4) ограничиться только Gong, то (2.4) будет по-прежнему служить
решением (2.2). В этом случае, который называется представлением стоячих
волн (заметим, что это не приближение), решение (2.4) будет
действительным.
Из (2.32) следует равенство
(2Z-H)/?(*)=1. (2.38)
Заметим также, что из (2.10) следует свойстео полноты базиса сферических
гармоник:
2 Yl (г) Yl (г') = 6^-^). (2.39)
L=О
9. Проекционные операторы. С понятиями ортогональности функций и
полноты базиса тесно связаны проекционные операторы, фигурирующие,
например, в теории псевдопотенциала. Для ортонормированного набора
функций |а> оператор, "проектирующий" какую-либо функцию /(г) в
пространство функций |а>,
§ 2. РАССЕЯНИЕ НА ИЗОЛИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
29
можно записать как
? = Ра~- 1 а > <а | (2.40)
а
в том смысле, что
?|/> = 2Дх|/> = 2|а><"1/>. а а
Очевидно, справа записано просто разложение / по базису функций 1а>, т.
е. можно сказать, что проекционный оператор есть просто оператор
разложения по базису.
В качестве примера проекционного оператора приведем оператор выделения L-
й компоненты в функции /(г):
PL = \L}(L\,
' , . (2.41)
PL I /> = I ьу {L I /> = Yl (г) J Yl (г') / (г') dQt,.
Применяя (2.41) к плоской волпе (2.32), имеем
Hjk> = /гь(к, r)yL(r).
Любой проекционный оператор обладает легко доказываемым свойством
идемпотентности: РР = Р.
§ 2. Рассеяние на изолированном потенциале
1. Фазовые сдвиги, анализ с помощью функции Грина. Рассмотрим В с
помощью ФГ рассеяние па отдельно взятом сфериче-ски-симмстричном
потенциале V(r). Используем представление стоячих волн (2.37):
Gfng = * 2 П (У-г<) щ (У.г>) Yl (г) Yl (г')- (2.42)
L
Подставляя (2.42) в (2.4), используя (2.32) и учитывая, что для свободных
электронов к2 = у2 = Е, имеем
Ф= AXhL(y, r)YL(г) +
L
+ И 2 [ П (У-г<) т (*/>) V (г') ф (г')У l (Г') сРг' • Yl (г).
