Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ястребов Л.И. -> "Основы одноэлектронной теории твердого тела" -> 9

Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.

Ястребов Л.И., Кацнельсон А.А. Основы одноэлектронной теории твердого тела — М.: Наука, 1981. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): osnoviodnoelektronnoyteoriitela1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 129 >> Следующая

получаем
(2.9)
(2.8)
Git, г') = G*{t', г).
5 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
23
Из (2.7) и (2.8) следует, в частности, важное свойство, характерное для
всех полных наборов функций:
2фп(г)фп(г') = б (г - г'). (2.10)
П
4. Функция Грина для свободных электронов. В случае свободных
электронов собственными функциями уравнения (2.5) являются плоские волны:
qjk = ---
3 (2.11)
Со(г.г') = -7^Г hTT
V(2nf
1 Л 0ik(r-г')
(2я)3 J к2 - к где у. - + УЕ. Этот интеграл равен [1, 21:
Л "ixlr - г'|
Св(г,г') (2.12)
Видно, что прп г = г' ФГ имеет сингулярность. Как следствие этого
производная dG/dr имеет разрыв при г = г':
dG 0G
дг дг'
#0.
5. Сферические гармоники. Пусть в (2.2) /(г) = - y(r)i]i(r)
и У (г) - сферически-симметричпый потенциал. Удобно перейти в (2.2) и
(2.5) к полярной системе координат:
х = г ¦ sin 0 ¦ cos ф, у = г • sin 0 • sin ф, z = r • cos 0;
O^QsSjt, 0 ф ^ 2,ч.
Оператор V2 представляет собой сумму двух операторов:
V2 = Vr + Л Ve,"p. (2-13)
г
где оператор у2 действует только па модуль вектора г, а оператор Уо,ф- на
углы, составляемые вектором г с осями координат. Нам будет нужен явный
вид у":
rt = jrwr'?r- (2-14)
Можно поставить и решить задачу на собственные значения для оператора
Vo.qj- Его собственные функции называются сферическими гармониками У1т(0,
ср):
- Ve.q>Yim (0, ф) = I (I + 1) Ylm (0, ф), (2.15)
Ylm (0, Ф) = NlmP[ml (cos 0) е1(tm)", (2.16)
24 ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
I I
где Nim - нормировочный множитель, Р\ - присоединенный по-
лином Лежандра степени |тге|, зависящий только от угла 0. Видно из
(2.15), что решения Yim вырождены по индексу т. Сферические гармоники
подчиняются теореме сложения:
где введено обозначение: Ylm{г) - гармоника, зависящая от углов,
составляемых вектором г с осями координат; Pi - полином Лежандра,
зависящий от угла между векторами гиг';
здесь интегрирование ведется по углам, составляемым вектором г с осями
координат, а брр> - символ Кропекера:
Про такую нормировку говорят, что гармоники нормированы на единицу;
нормировочный множитель N!m включает в себя мпожи-
Существует теорема сложения гармоник с разными I, т и
Здесь использовано сокращенное обозначение L = {I, т}, к которому мы
будем часто прибегать в дальнейшем.
Сферические гармоники YL являются комплексными. Можно определить так
называемые действительные гармоники, которые иногда называют кубическими,
поскольку они преобразуются под действием операций симметрии как
собственные функции кубп-
т
р,т=°/ = рг, />г(СО50)[соз9=1 = 1.
Сферические гармоники ортонормировании
I Yim (г) Yi'mi (г) dQt = 6(j'6mm',
]тт' j
(2.IS)
1, если р = р', О, если р Ф р'.
тель 1/У4.Ч, в частности,
1
(2.19)
У4л
где величины С\называются коэффициентами Гаунта, они
представляют собой матричные элементы YL, взятые на 1г21п
Yv.(L1\L\L'y.
CilL> = I Y*Ll (r) Yl (r) Yl, (r) dQt. (2.21)
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
25
ческой симметрии [3]:
У1т Г 1, - т
(2.22)
2 i
Обычно говорят о гармониках с 1 = 0, 1, 2, 3, 4 как об s-, р-, г?-, /- и
^-функциях. В учебных руководствах часто приводят угловые зависимости s-,
р-, d-функций в декартовых координатах; при этом используют именно
кубические гармоники, так как сферические гармоники нельзя изобразить из-
за наличия мнимых частей.
Формально можно кубические гармоники нумеровать ') некоторыми индексами р
вместо индексов т; кубические гармоники будут по ним так же
ортонормнрованы, как и по т.
В расчетах зонной структуры, например, в расчете так называемых
структурных констант метода ФГ (см. § 15) используют кубические
гармоники, чтобы получить действительные матричные элементы. Фактически
это достигается простой заменой одних обозначений на другие, поэтому
всюду в дальнейшем мы будем использовать сферические гармоники, поскольку
это позволит нам отмечать свойства эрмптовости или неэрмптовости.
Сферические (кубические) гармоники, будучи собственными функциями
оператора Ve,<p> представляют собой полную систему функций на сфере.
Поэтому любую функцию, зависящую от углов, можно разложить по УьМ:
6. Радиальное уравнение. Воспользуемся (2.23) и разложим решение
уравнения (2.2) т|) по YL (правая часть (2.2) равна
Подставляя (2.24) в (2.2), переходя к сферическим координатам и используя
(2.14), (2.15), получаем дифференциальное уравнение для определения 52,т:
Видно, что 52,т не зависит от т, и этот индекс можно опустить. В силу
линейности (2.25) функция 52, определена с точ-
*) Из (2.22) видно, что кубические гармоники нельзя нумеровать прежними
идексами то. Этот "запрет" - следствие смешивания квантовых чисел под
влиянием возмущения, такого же, как в моделях ЛКАО и ПСЭ. В данном
конкретном случае к "возмущению" приводит изменение симметрии.
f(T)='LfL(\r\)YL(T).
(2.23)
- Г(г)г)з):
^(г) = S.52;m(| г |) Yl(v).
(2.24)
(2.25)
26
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
ностью до постоянного (не зависящего от г) множителя, который
определяется граничными условиями, например, нормировкой. Поэтому более
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed