Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
L J
Перейдем к сферическим координатам. Используем (2.26). Проведем
интегрирование по углам векторов г и г'. Выберем Ви
*) В § 15 точно такой же подход будет применен для решения задачи об
энергетическом спектре кристалла: будет получено секулярное уравнение
метода ККР (метод Корринги, Кона и Ростокера).
30
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
в виде
Bl = bL-^=- il Yl (и).
Это позволит устранить зависимость от направления вектора х в
окончательных формулах. В результате имеем
Mi = |j^ + и J ni {кгг) V (гг) Mi (rx) r^j /, (xr) +
I к f U (y-ri) Y (о) Mi (гг) r\dr\ щ (кг).
Не представляет труда получить такое же выражение в представлении бегущих
волн: достаточно заменить щ на iyt-Определим функции:
Г
Si (г) = -X j (xrx) V (rx) Ml (E, rx) r{dry, (2.43)
0
oo
Cl (r) =? + *$ Щ (xrx) V (rx) Ml (E, rj r\dr(2.44)
L T
Заметим, что 5,(0) = О, С,(°°) = А/Ъь. С помощью (2.43), (2.44) получаем
Mi (г) = С,(г)/,(хг) - 5,(г)щ(хг). (2.45)
Наличие потенциала привело к смешиванию регулярного и нерегулярного
решений однородного уравнепия.
При г -*¦ 0
Ci (г -> 0) = const,, (2.46)
52; (r->0) = const?-/; (xr). (2-47)
При г °о (для достаточно быстро спадающего потенциала,
например, равного нулю при r>R) функции С, и 5, не зависят от г. Введем
________
constr =\/f С* Si.
Определим угол тр(7?):
ip (Е) = arctg [5; (г -> oo)/Ci (r -> oo)]. (2.48)
Выражение (2.48) эквивалентно записи
5; (гoo) = const;00 • sin тр, (2.49)
Ci (r-> oo) = const"-cos ip, (2.50)
Mi(E, r-> oo) = const" (cosrp •/; (xr) - sin T); -H; (xr)). (2.51)
§ 2. РАССЕЯНИЕ НА ИЗОЛИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
31
Угол г|| называется фазой рассеяния или фазовым сдвигом. Такое название
возникло потому, что при г-"- используя (2.29), можно получить
" sin (xr - 1к12 + Т1Л , _
(r-> oo) = const; ------------ -----. (2.52)
Решение (2.52) как бы сдвинуто относительно ji(xr) (2.29) на угол pp. На
самом деле эта интерпретация не точна: сдвиг Я: по фазе относительно /,
предполагает, что фаза входит н в знаменатель (2.52).
Для определения фазового сдвига имеем
S, (Е, г = оо) Ьт
tg T)i (Е) =------------------------------------ -J Si (Е, г =
оо).
const(r) - у. | пI (у.г) V (г) (г) r2dr
(2.53)
Отметим также полезное соотношение
constf'-cos гц = Albf (2.54)
2. Возможные нормировки волновой функции. В руководствах по теории
рассеяния часто говорится, что в теории рассеяния нормировка произвольна:
важны только относительные величины, например, коэффициенты отражения и
пропускания. Это, конечно, справедливо. Но от выбора нормировки
зависит конкретный
вид интересующей пас волновой функции. В зависимости от нор-
мировки меняется и способ выражения фазового сдвига через 52г, как мы
увидим, рассмотрев некоторые возможные нормировки.
А) Нормировка такая же, как в плоской волне:
bL = А. (2.55)
Тогда из (2.53)
оо
tg 4i = -j ji (кг) V (г) (г) гЧг, (2.56)
О
Яг (г) = и (кг) - tg Г); (Е) щ (кг). (2.57)
Б) Нормировка в начале координат:
const? =1, (2.58)
tg T]t = -к J /[ Vgtxr4r jiyi - X J mV ghr*dr j. (2.59)
Радиальная функция Яг дается выражением (2.51), фазы для которого
определены соотношением (2.59). Заметим, что имепно
32
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
такая нормировка принята в книгах по теории метода фазовых функций [8, 9]
(см. § 3). Выражение (2.59) совпадает, например, с выражением (6.18) в
работе [9], за тем исключением, что в [9] вместо 9h используется щ =
52,/г.
В) Нормировка в бесконечности:
const)" = 1, (2.60)
ОО
sin тр = -х j jiVM,r2dr, (2.61)
о
911 = cos ip-/'г (xr) - simp •/?г (xr). (2.62)
Такая нормировка используется в тех случаях, когда нужно исследовать
поведение электропов вдали от начала координат, в которое помещен
потенциал1), например, при рассмотрении примесных атомов [10].
Г) Нормировка с учетом рассеяния:
ОО
Ьь = - s J ni (кг) V (г) Лi (г)гЧг. (2.63)
1 о
Тогда
tg Л*
и окончательно:
const) = - tg тр, const) = const)0 • cos rp - tg rp,
bh
9h = (const) + tg тр) (ji (xr) - tg тр • щ (xr)).
Зная амплитуду функции при г 0 и при г °°, можно определить фазу
рассеяния. Или же наоборот: зная амплитуду и фазу функции вдали от атома,
можно определить поведение функции в начале координат, не интересуясь
поведением функции на промежуточных расстояниях. В этом факте особенно
наглядно проявляется принцип, на котором, собственно говоря, основана вся
теория псевдопотенциала: "память" о взаимодействии заключена в сдвиге
фазы, который определен с точностью до пл, где п - целое число. Заметим,
что для асимптотики (2.52) важна фаза с точностью до 2пл, и формула
(2.64) определяет фазу именно с такой точностью.
(2.64)
Оо
= - X J 7?; (xr) V (г) Ri (r)r2C?r, 0
!) Эту фразу следует понимать в том смысле, что в начало координат
помещен силовой центр, в результате взаимодействия с которым электрон
обладает потенциальной энергией V (г).
§ 2. РАССЕЯНИЕ НА ИЗОЛИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
33
3. Логарифмические производные радиальных функций. Итак,
вдали от потенциала (для потенциала с ограниченным радиусом действия R,
