Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
(2.73) и (2.;75) низкоэнергетическое поведение tg тр одинаково; оно
сохраняется для всех видов потенциала с ограниченным радиусом действия:
г+i
tgтр(К)-г. (2.76)
Проанализируем теперь поведение tg тр вблизи резонанса. Появление условий
"связывания и антисвязывания" (2.68) и
(2.69) заманчиво трактовать как результат взаимодействия некоторого
уровня (с энергией, например, Е]ез) с каким-то возмущением. В качестве
возмущения можно взять изменение гранич-3*
36
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
ных условий: дискретный ранее уровень "внезапно" оказался выше начала
отсчета энергии и стал квазпдискретным. Электроны могут теперь покидать
этот уровень и распространяться по всему пространству, т. е. время жизни
электрона на этом уровне будет конечным, а не бесконечным, как для
дискретного. Все рассмотрение мы ведем в так называемом представлении
Шредингера [20, 21], в котором волновая функция зависит от времени по
гармоническому закону:
ij'U) = = 0)е'Е,/л.
Для описания распада этого состояния со временем надо считать, что
энергия квазидискретного уровня комплексна (и тем он отличается от
дискретного):
ДГв = Дг-НДг. (2.77)
Величина А; определяет время жизни электрона т( на квази-дпскретном
уровне; ее называют также шириной уровня:
Тг • А; ~ 1.
Обычно вместо ширины Аг используют полуширину Гг = А;/2. Предположение о
существовании квазидискретного уровня с энергией Et и полушириной Гг
приводит [22] к выражению:
tg < + Г,/ (Е, - Е)
tgn = 7- ' 0 • /' к' (2-78)
1 -tgT)0 • Г L)
из которого следует соотношение для фаз ([22, уравнение (134.10)]) "Пг =
Ц°1 -г arctg Е, (2.79)
где цг (Е) - фаза рассеяния при энергиях, далеких от Et. Выражение (2.78)
можно формально переписать в виде
tg у\1 = tg цо Г; , (2.80)
^I - ь
где
г; = Гг(1 Ч- tg2-n?), Е\ = El- Г; tg Г](r).
(2.81)
Таким образом, мы можем оценить зависимость Ei(E), учтя, конечно, что при
малых энергиях для выполнения (2.76) следует полагать:
l+i
Ti = Ti{E)~E г. (2.82)
§ 2. РАССЕЯНИЕ НА ИЗОЛИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
37
Из (2.80) следует, что нельзя отождествлять энергию сингулярности tg г);
с энергией резонансного уровня. Наличие фазы потенциального рассеяния ц?
(такой термин вводится, чтобы отличать от резонансного) перенормирует
энергию резонанса наподобие того, как трение сказывается в теории
механического резонанса. Это значит, что Е\ может быть сдвинуто
относительно
Ei на величину r^tgr];, которая составляет (0,1-0,3) Ry. В теории
переходных металлов (см. рис. 2.4, 2.5 и §§3, 15) энергетические зоны d-
электронов возникают из квазидискретных уровнен. При этом считается, что
средняя энергия этих зон совпадает с энергией квазндпскретиого уровня. На
самом деле она должна совпадать с Ei, как мы и увидим в § 15.
Можно рассматривать (2.81) как первый порядок теории возмущений в модели
ЛКЛО. Действительно, в роли возмущения выступает отличие Г; от нуля, а
само возмущение возникло как следствие изменения граничных условий.
Уровень сдвинулся на величину "возмущающего" потенциала.
5. Связь между энергиями сингулярностей tgrpCE) и %i(E). Установим связь
между энергиями сингулярностей tg r\i(E) и Xi(E). Запишем энергию как
функцию фазового сдвига. Из (2.79) имеем
Е= Ei+ Г; Ctg (г); - щ).
Сингулярность Xi означает, что выполняется (2.74). Эго значит, что когда
Е = е(, фаза тр равна j};. Мы получаем искомое соотношение:
е, = Ег + Г, ctg (щ° - рг), (2.83)
где все величины взяты при энергии е*. Чем ближе потенциальное рассеяние
к рассеянию на твердой сфере, тем дальше значение е; отстоит от Еь Это
значит, что в рассматриваемом энергетическом диапазоне одна из этих
сингулярностей может не наблюдаться, тогда как другая будет
присутствовать. Заметим, что рассеяние на абсолютно твердой сфере - это
не обязательно сильное рассеяние: фаза f); будет мала, когда ц близко к
нулю. Для d-электронов асимптотика (2.29) справедлива при xR> 3, нули
функции у2 определяются из условия xR - л = пп, следовательно,
асимптотикой (2.29) можно пользоваться уже при определении положения
первого нуля. Величина R в зонных расчетах обычно несколько меньше 3, т.
е. d-рассеяние на абсолютно твердой сфере будет мало вблизи энергий
порядка 1 Ry, которые, как правило, представляют собой верхнюю границу
рассматриваемого в зонных расчетах интервала.
6. Теорема Левинсона. Развитый выше формальный аппарат пригоден и для Е<
0. Действительно, уравнение (2.25) интегри-
38
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
руемо при любых Е, в том числе и при Е = - х\ и все отличие от случая Е =
+у2 заключается в том, какие граничные условия при г = оо наложены на
функцию 5?,.
Решение уравнения (2.25) при отрицательных энергиях по-прежнему должно
представлять собой суперпозицию регулярного и нерегулярного решений /( и
щ (от мнимого аргумента ixR). Граничное условие, отвечающее связанному
состоянию, есть требование конечности нормировочного интеграла. Это
значит, что при г оо значение должно стремиться к нулю быстрее, чем г-3.
