Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
при г > R) волновая функция 52; имеет вид (2.51). Выведенные выше
выражения для тр являются интегральными, по ним сложно рассчитывать тр.
Для вычисления фазовых сдвигов существует множество способов, например,
вариационные [11 -13] и другие [14-18]. Наиболее распространен следующий
подход.
Уравнение (2.25) допускает численное решение при любых значениях Е, если
не поставлены граничные условия. Поэтому можно проинтегрировать ') (2.25)
вплоть до пекоторого г0, например, до радиуса действия потенциала R, а
затем потребовать гладкого перехода 91х в его форму (2.51):
lim gh (г = R - б) = const[° (cos тр -Д (x.R) - sin тр -лг (xR)),
6"° , , (2-65)
lim ffli (г - R - S) = constr (cos тр ¦jl (xR) - sin тр -nx (xR)).
6^>0
Вводя логарифмическую производную радиальной волновой функции,
<2'66)
получаем выражение для фазового сдвига
* /;(хЛ)-/4(кД).Х,(7Г)
tg^(^) = -т-----------. . .... ¦, (2-6/)
п; (хЛ) - (хЛ) •Х1 (h)
где штрих у функций Бесселя и Неймана означает дифференцирование по
координате г.
Рассмотрим зависимость функции от эпергии Е. Функция h(Е) имеет нули при
энергиях ?? н сингулярности при энергиях ег, определяемых из условий2):
l(r)i(r,E4) |г=в = °, (2-68)
9h (г, ?() |г=л = 0. (2.69)
Выясним, убывает пли возрастает Яг с ростом Е. Для этого запишем
уравнение (2.25) для энергии Еи умножим его на
&tx{E?)E и проинтегрируем по г от 0 до R. Затем запишем (2.25) для
энергии Е2, умножим на ffi.AEJE, проинтегрируем по г и вы-'
!) Любое дифференциальное уравнение можно численно проинтегрировать, не
задавая граничных условий. Но при этом, конечно, должпы быть заданы
начальные условия.
2) Заметим, что эти условия аналогичны выражениям для связывающей и
антисвязывающей функций в двухатомной молекуле (ср. с гл. 4 в [19]).
3 JI. И. Ястребов, А. А. Кацнельсон
34
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
чтем второй интеграл из первого:
Из?г (Е2) Ях (Ег) - Я, (EJ (Е2))}" ^
п
= (Ег-Ег) J ЖЛЕ^Я^Е^гЧг,
О
где использовано (2.14). Устремим Ег к Z?t:
Е1~Е2 = 2х 6х, Ях (Е2) = (?,) -f (д^/дх) бх,
1" r2&*m^l(r' Ч = .i &i(r,E)r2dr.
При г-"0 в соответствии с (2.47), (2.28) 5?, ~ г'; следовательно,
А*(г - 0) - гг-1, (2.70)
и мы получаем
d4 X, <", А> _ _-.-Щ-- J {г.щ
Поскольку правая часть (2.71) отрицательна, то Х,(Е) монотонно убывает с
ростом Е, проходит при е; через - °° в + °° и снова убывает (рис. 1.2).
4. Энергетическая зависимость функций tgr)j(^). Функция Яг пробегает
по всему диапазону значений, поэтому следует ожидать, что числитель и
знаменатель в (2.67) будут при некоторых энергиях обращаться в нуль, т.
е. tgTp(')E) будет, как и Яi(E), иметь нули и сингулярности, связанные с
нулями и сингулярностями %i(E).
Энергия сингулярности
tg г\i(E) (или как ее обычно называют - энергия резонанса) может быть
найдена из решения нелинейного уравнения:
Яг (?) = тгГ1(хЛ)^7гг(хД).
(2.72)
Иными словами, когда Я; гладко сшивается с нерегулярным решением
однородного уравнения nh в рассеянии возникает резонанс.
Введем в рассмотрение потенциал абсолютно твердой сферы; это - такой
потенциал, который равен +°° при г sg R (где R -
Рис. 1.2. Схематическое изображение энергетической зависимости
логарифмической производной Яг. Реальные зависимости представлены на рис.
1.24.
§ 2. РАССЕЯНИЕ НА ИЗОЛИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
35
радиус сферы) и нулю при r> R. Можно сказать, что потенциал абсолютно
твердой сферы относится к классу МТ-потенциалов. Для такого потенциала
при решение уравнения (2.25) рав-
но нулю для любой энергии: 5?г(К, г) = 0, а это значит, что вне
зависимости от энергии логарифмическая производная XtiE, г) обращается в
бесконечность. Поэтому из (2.67) получаем выражение для фазы рассеяния fa
на абсолютно твердой сфере:
tg fa(E) = ji(xR)/rii(xR). (2.73)
С другой стороны, если при рассеянии на произвольном потенциале для
некоторой энергии Е = е( выполняется равенство
(2.69), то это означает возникновение сингулярности в ХАЕ = ег) по
формуле (2.66). В свою очередь, это значит, что при Е = г, рассеяние на
потенциале происходит, как на абсолютно твердой сфере, что можно записать
в виде
трЫ = рДе,). (2.74)
Таким образом, при энергии Е = е( истинный потенциал может быть
заменен бесконечно большим потенциалом отталкива-
ния; это опять наводит па мысль о том, что для правильного описания
рассеяния можно заменить пастоящий потенциал F(r) некоторым другим,
воспроизводящим ту же самую картину рассеяния.
Итак, мы обсудили поведение tg тр вблизи Е - е,. Каков ход этой функции
при малых энергиях? Для ответа на этот вопрос рассмотрим рассеяние на
прямоугольной яме с глубиной F0 и радиусом R. Обозначим: к0 = 1/Е + F0.
Решением (2.25) будут являться сферические функции Бесселя /;(к0Д), и мы
получим
j', (v.R) -(nR)j / (y-,M)/j, (ynR) tg тр E) = -LL!Lo E Л о J
(2>?5)
nt (xR) - nt {kR) it (K0R)/h (K0R)
Для анализа поведения tg тр при малых энергиях воспользуемся
асимптотиками (2.28). Видно, что в обоих рассмотренных выше случаях
