Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
2*
20
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Энергию электрон-электронпого взаимодействия U*3 можно представить [17]
как результат взаимодействия неоднородного вклада в электронную плотность
в кристалле с потенциалом, создающим отличие кристаллического потенциала
У*кр от исходного потенциала системы ионов Тиоа. Вводя формально функцию,
характеризующую этот потенциал, a(q) = F"0H(q)/7<'KP(q), удается [17]
выразить и(tm) через формфактор TKp(q) (1.21):
Ut3 = 2 ] 5 (q) |2 | V (q) |2Х (q) (1 - a (q))f (1.39)
q
= 2 | s (q) I2 ! V (q) |2x (q) - U(tm) = S | s (q) I2\V (q) \\ (q) a (q).
q q
(1.40)
Заметим, что при выводе этой формулы не было сделано никаких
предположений о виде потенциала (кроме предположения локальности) и о
способе построения кристаллического потенциала из ионного (о механизме
экранирования). Функция %(q) появилась как результат применения теории
возмущений, функция a(q) - как отношение исходного потенциала ионов к
кристаллическому. В § 7 мы столкнемся с так называемым диэлектрическим
экранированием, для которого тоже понадобится линдхардовская функция
%(q), а функция а приобретет смысл так называемого "отклика" системы на
возмущение. Но это будет уже детализация аппарата, от которой смысл
формул (1.34) - (1.40) пе зависит.
Принято определять характеристическую функцию (r)bs(q):
Фьз(ц) = I H(q) l2%(q)a(q). (1.41)
Используя (1.41), можно переписать Ubs как сумму по узлам решетки фурье-
образов ObS(tv), определенных так:
фь8 (t) = 2 j Ф1)в (q) е1ч'й3г. (1.42)
Фь.П) можно рассматривать как потенциал взаимодействия ионов через
электронный газ (одни и тот же электрон одновременно притягивается ко
всем ионам, что обусловливает их притяжение друг к другу). Это - то
взаимодействие, которое должно компенсировать прямое кулоновское
отталкивание ионов. Суммарный потенциал межатомного взаимодействия имеет
вид
Ф (t) = п фьз (t). (1.43)
Заметим, что Ф(0 описывает взаимодействие атомов при неизменном объеме
системы. Иными словами, Ф(0 - потенциал перегруппировки атомов.
ЧАСТЬ 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
Г л а в а 2
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
§ 1. Математический аппарат
В этой главе мы рассмотрим квантовомеханическую теорию рассеяния. Понятия
теории рассеяния широко используются в одноэлектронной теории, а
математический аппарат, необходимый для понимания (а главное - для
"осознания" внутренних связей между различными методами расчета зонной
структуры), разбросан по многим руководствам (и находится зачастую где-
нибудь в середине трудной книги). Поэтому мы попытались собрать все
необходимые сведения в одно место, причем так, чтобы по мере возможности
не принуждать читателя "поверить на слово".
Таким образом, данная глава является введением в современный аппарат
одноэлектронной теории твердого тела.
1. 6-функция. Часто используют функцию 6(х). Она обладает следующим
свойством: для непрерывной функции fix)
5 f(x)S(x-x0)d3x = f(x0). (2.1)
по всему пространству
2. Метод функции Грина. Мощный формальный аппарат решения
дифференциальных уравнений предоставляется нам методом функции Грина
(ФГ). Суть его заключается в следующем [1]. Пусть имеется
дифференциальное уравнение (для определенности мы берем уравнение
Шредингера, но метод ФГ пригоден для любого вида уравнений):
(_V^ _ ^)щ(г) = /(г). (2.2)
.Функция Грипа Giг, г') определяется как решение такого
уравнения (2.2), где вместо правой части стоит так называемая
функция источника:
(-V2-?)G(r, г') = -б(г-г').
(2.3)
22
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ "ТВЕРДОТЕЛЬЩИКОВ"
С помощью ФГ решение (2.2) дается выражением
ф (г) = Ац> (г) + j G (г, г') / (г') d3r', (2.4)
по всему пространству
здесь А - произвольная постоянная, а ф удовлетворяет уравнению
(2.2) с нулевой правой частью:
Докажем справедливость (2.4). Для этого подействуем на (2.4) оператором
(-V2 - Е), где оператор V2 действует на координату г и может быть внесен
под знак интеграла. Первый член в (2.4) равен нулю по (2.5), под
интегралом мы используем выражения
(2.3) и (2.1); и утверждение (2.4) доказано.
Интегральное уравнение (2.4) удобно тем, что для определения ф не
требуется никаких дополнительных условий на (2.4), подобных тем, какие
нужны для дифференциальных уравнений: они все включены в ф(г) и G(г, г').
3. Спектральное разложение функции Грина. Пусть уравнение (2.5) имеет
спектр собственных чисел е" с соответствующими собственными функциями ф".
Поскольку ФГ удовлетворяет тем же граничным условиям, что и ф"(г) (по
определению), то можно разложить ФГ по этому базису (он будет полным для
ФГ):
При построении (2.9) существенно, что левая часть (2.3) является
самосопряженным оператором.
Выражение (2.9) позволяет вычислять ФГ. В силу (2.9) ФГ эрмитова:
(_У2_?)ф(г) = 0.
(2.5)
&(г, г') = 2апф" (г).
(2.6)
П
Подставим (2.6) в (2.3):
2 ап (е" - Е) фп (г) = - б (г - г').
(2.7)
П
Умножая на ф*- (г), интегрируя по всем г и используя ортогональность ф",
