Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
странства не эквивалентны между собой.
Пусть X — ненулевое подпространство в инвариантное относительно всех операторов TR(g). Тогда, в частности, X инвариантно и относительно всех операторов 7'л(ш3(а)). Следовательно, в силу п. 3 § 3 главы I оно должно быть ортогональной прямой суммой некоторых из пространств ^л:
S = ?&.*• (2)
k
Поэтому X содержит по крайней мере одну из функций ёп'^.
Нам осталось показать, что если инвариантное подпространство % содержит одну из функций ein^, то оно содержит и остальные
функции e,kф, —со<^?<^со. Но если пространство % инвариантно относительно всех операторов TR(g), то оно инвариантно и относительно инфинитезимальных операторов А1У Л2, Л3. Выясним, как действуют эти операторы на базисные функции eikф. Из формул (2), (4) и (6) п. 2 вытекает, что
= cos (3)
Лае'**'»' = sin (3')
A3em = — tkeik*. (3")
Введем линейные комбинации //+= ДгЛ2, Н_= Ах — гЛ2 операторов Ах и Ла. Подпространство % инвариантно относительно этих
операторов. Но оператор Н+ переводит функцию е1к^ в функцию
H+eik* = Rel^ + 1)*. (4)
Оператор же Н_ переводит eikф в
H_eih** = R е‘(/г_1) (4')
Отсюда~следует, что если инвариантное подпространство $ содержит одну из функций то оно содержит и все функции
« 21 НВПРИВОДИМЫВ'УНИТАРНЫВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 209
— оо k оо, т. е. совпадает с Тем самым доказано, что любое ненулевое инвариантное подпространство в ф совпадает с .fj, т. е. доказана неприводимость представления TR(g) при
Если R = 0, то представление TR(g) принимает вид
7'0(ёг)/(ф)=/(ф —«). g = (x, а). (5)
Это представление, как уже отмечалось выше, приводимо. Оно распадается в прямую сумму одномерных представлений
T,n{g) = e!na- (6).
Можно доказать, что представлениями TR(g), R^O и Ton(g),
— оо<^я<^со исчерпываются все неприводимые представления группы М (2) (см. [297]).
4. Представления скрещенных произведений. Описанная выше конструкция представлений ГR(g) группы -М(2) является частным случаем общей конструкции представлений скрещенных произведений. Пусть G = D-iA — скрещенное произведение коммутативной группы В и группы ее автоморфизмов А. Обозначим через X группу, элементами которой
являются одномерные представления группы В, т. е. такие скалярные
функции X (Ъ), В, что
*(*i + *,)=X(*i) *(*¦)• (1)
Каждому автоморфизму а группы В соответствует автоморфизм й группы X, определяемый формулой
йХ(Ь) = 7.(агЧ), (2)
причем й1й, = (в1в2). Поэтому группа А изоморфна группе автоморфизмов А для X.
Разложим группу X на классы транзитивности относительно преобразований А. Пусть Ф—один из этих классов, и /(f) — функция, заданная на Ф. Каждому элементу g = (b, а) группы С? поставим в соответствие оператор Т (g), определяемый формулой
T(g)f('?) = <°(b)f(d-1'?)4 (3)
Так как при gL=(bu aL), ga = (*s, as)
T fei) T (g2)f(<f) = T (gl) ч (b2)f(dуi ?) = ч (b,) (b2) /, (d^dj^) =
и
(Pi, ai)(h, а2) = (*1 + «Л. «i«a)>
T0 T (g) является представлением группы О в пространстве функций на Ф.
Выберем в качестве группы В двумерное вещественное линейное про-
странство, а в качестве А — группу евклидовых вращений. Одномерные представления группы В имеют вид
X (ft) = ехр[*А+ *>*>],
где 11 и Х2 — любые комплексные числа и b = (blt ft2). Поэтому X является
*) Напомним, что <р? ФсХ, и потому является функцией на В.
210 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
двумерным комплексным линейным пространством. Классы транзитивности относительно группы А состоят из пар комплексных чисел вида (/?cosot, .A? sin а) (.А? — комплексное число). Легко проверить, что формула (3) приведет в этом случае к рассмотренным выше представлениям Т R(g) группы М (2).
§ 3. Матричные элементы представлений TR(g) и функции Бесселя
1. Вычисление матричных элементов. В этом параграфе мы вычислим матричные элементы t^n (g) неприводимых представлений TR(g) группы Ж(2) движений евклидовой плоскости. Согласно § 2 эти представления строятся в пространстве ^функций /(ф), заданных на окружности, и таких, что
2л
о
Представления TR(g) задаются формулой
TR (g)fw=cos (ф “ 9)f(ф -«). (2)
