Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 97

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 241 >> Следующая


рам L (g) соответствуют в fi)R операторы неприводимых унитарных представлений группы М (2).

Обозначим через гильбертово пространство функций Ф(ф), заданных на окружности |у|=^, и таких, что



||ф|!??=^ f 1 ф (Ф) I2 < -4- оо- . (7)

0

Положим Fjf(ty) = F(R cos ф, /?sin^). Равенство

со 2л со

\\РШЛу= \RdR $ |F(tfcos<l), Rsm^d^ = 2, \\FR\fRRdR (8)

0 0 0

показывает, что пространство является непрерывной прямой суммой пространств feR:

СО

i*=2iz \$RRdR. (9)

о

Поскольку функции /¦’(у) из пространства V2 могут, вообще говоря, не иметь значений в отдельных точках, следует уточнить наше утверждение. Сначала рассмотрим пространство @ бесконечно дифференцируемых функций F(у), быстро убывающих вместе со всеми производными при | у | —> оо. Для каждой такой функции значение FR (^) = F (R cos^, sin ф) определено. Этим

определяется разложение предгильбертова пространства @ в непрерывную прямую сумму пространств <SR, состоящих из бесконечно дифференцируемых функций на окружностях. Пополняя потом эти пространства по соответствующим нормам, мы и получим разложение (9).

Выясним теперь, как разлагаются операторы представления L (g). Для этого достаточно заметить, что операторы L (g) сводятся к вращениям вокруг начала координат и умножению на функцию ?ii?rcgs(<)* — <р)' Цоэхому они остэвдают инвариантными пространства
§5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ 221

функций, заданных на окружностях радиуса R. Отсюда сразу следует, что оператору L (g) соответствуют операторы LR(g) в пространствах jr>R, имеющие вид

h (S) Fr («1») = е iR>' “s № - *> Fr (ф — a), (10)

где

g=g(a, a), a = (rcoscp, rsincp).

При этом из равенства (5) следует, что

[L(g)F(g)]R = LR(g)FR(g). (11)

Таким образом, L (g) является непрерывной прямой суммой представлений lR(g):

СО

L(g) = 2iz\iR(gyRdR. (12)

о

Представления LR(g), определяемые формулой (10), совпадают с построенными в п. 1 § 2 неприводимыми унитарными представлениями TiR(g) группы М (2). Поэтому равенство (12) дает разложение представления L (g) в непрерывную прямую сумму неприводимых унитарных представлений. Поскольку представления L (g) и L (g) эквивалентны, то это равенство дает и разложение квазирегулярного представления. Ниже мы уточним это утверждение.

2. Преобразование Фурье — Бесселя. Рассмотрим в пространстве функций /(х, у) с интегрируемым квадратом подпространства 2п, состоящие из функций вида

/(г cos а, гsiria) = cp (r)ema, (1)

где

СО

51 Т (г) I2 г <С + °°-

о

Выясним, какой вид принимает преобразование Фурье для функций из пространства 2%.

Подставим в формулу (2) п. 1 вместо /(х) выражение ®(г)е‘пл

и положим F (у) = F (R cos ф, sin ф). Переходя к полярным коорди-

натам, получаем

2я со

F (R cos ф, Rs\nty)= ^ ^ ср (г) f*l^c°s — Ф) г dr da =

о о

со 2 я

--- jj гр (г) г[ jj /.ЦЯгСОЗД+Яи] rfa^ dr.

О о
222 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV

Так как по формуле (8) п, 1 § 3



^ ei [Rr cos и + па] fa — 2iztajn (Rr),

О

то это равенство можно записать в виде

СО

F (R cos ф, R sin ф) = 2шпет* \ f(r) Jn (Rr) г dr. (2)

о

Итак, преобразованием Фурье функции

/(х) = ср(г)е‘Л1\ x=(rcosa, г sin a) является функция

F (y) = 2Kin(&(R)eln{t, y = (/?cosi]), sin ф),

где

СО

<b(R) = \<?(r)Jn(Rr)rdr. (3)

о

Преобразование (3) называют преобразованием Фурье — Бесселя. Мы доказали, таким образом, что при преобразовании Фурье на плоскости над «радиальной частью» ср (г) функций из подпространства 2'„ выполняется преобразование Фурье — Бесселя.

Применяя обратное преобразование Фурье на плоскости, получаем формулу обращения для преобразования Фурье—Бесселя:

СО
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed