Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
рам L (g) соответствуют в fi)R операторы неприводимых унитарных представлений группы М (2).
Обозначим через гильбертово пространство функций Ф(ф), заданных на окружности |у|=^, и таких, что
2ж
||ф|!??=^ f 1 ф (Ф) I2 < -4- оо- . (7)
0
Положим Fjf(ty) = F(R cos ф, /?sin^). Равенство
со 2л со
\\РШЛу= \RdR $ |F(tfcos<l), Rsm^d^ = 2, \\FR\fRRdR (8)
0 0 0
показывает, что пространство является непрерывной прямой суммой пространств feR:
СО
i*=2iz \$RRdR. (9)
о
Поскольку функции /¦’(у) из пространства V2 могут, вообще говоря, не иметь значений в отдельных точках, следует уточнить наше утверждение. Сначала рассмотрим пространство @ бесконечно дифференцируемых функций F(у), быстро убывающих вместе со всеми производными при | у | —> оо. Для каждой такой функции значение FR (^) = F (R cos^, sin ф) определено. Этим
определяется разложение предгильбертова пространства @ в непрерывную прямую сумму пространств <SR, состоящих из бесконечно дифференцируемых функций на окружностях. Пополняя потом эти пространства по соответствующим нормам, мы и получим разложение (9).
Выясним теперь, как разлагаются операторы представления L (g). Для этого достаточно заметить, что операторы L (g) сводятся к вращениям вокруг начала координат и умножению на функцию ?ii?rcgs(<)* — <р)' Цоэхому они остэвдают инвариантными пространства
§5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ 221
функций, заданных на окружностях радиуса R. Отсюда сразу следует, что оператору L (g) соответствуют операторы LR(g) в пространствах jr>R, имеющие вид
h (S) Fr («1») = е iR>' “s № - *> Fr (ф — a), (10)
где
g=g(a, a), a = (rcoscp, rsincp).
При этом из равенства (5) следует, что
[L(g)F(g)]R = LR(g)FR(g). (11)
Таким образом, L (g) является непрерывной прямой суммой представлений lR(g):
СО
L(g) = 2iz\iR(gyRdR. (12)
о
Представления LR(g), определяемые формулой (10), совпадают с построенными в п. 1 § 2 неприводимыми унитарными представлениями TiR(g) группы М (2). Поэтому равенство (12) дает разложение представления L (g) в непрерывную прямую сумму неприводимых унитарных представлений. Поскольку представления L (g) и L (g) эквивалентны, то это равенство дает и разложение квазирегулярного представления. Ниже мы уточним это утверждение.
2. Преобразование Фурье — Бесселя. Рассмотрим в пространстве функций /(х, у) с интегрируемым квадратом подпространства 2п, состоящие из функций вида
/(г cos а, гsiria) = cp (r)ema, (1)
где
СО
51 Т (г) I2 г <С + °°-
о
Выясним, какой вид принимает преобразование Фурье для функций из пространства 2%.
Подставим в формулу (2) п. 1 вместо /(х) выражение ®(г)е‘пл
и положим F (у) = F (R cos ф, sin ф). Переходя к полярным коорди-
натам, получаем
2я со
F (R cos ф, Rs\nty)= ^ ^ ср (г) f*l^c°s — Ф) г dr da =
о о
со 2 я
--- jj гр (г) г[ jj /.ЦЯгСОЗД+Яи] rfa^ dr.
О о
222 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
Так как по формуле (8) п, 1 § 3
2л
^ ei [Rr cos и + па] fa — 2iztajn (Rr),
О
то это равенство можно записать в виде
СО
F (R cos ф, R sin ф) = 2шпет* \ f(r) Jn (Rr) г dr. (2)
о
Итак, преобразованием Фурье функции
/(х) = ср(г)е‘Л1\ x=(rcosa, г sin a) является функция
F (y) = 2Kin(&(R)eln{t, y = (/?cosi]), sin ф),
где
СО
<b(R) = \<?(r)Jn(Rr)rdr. (3)
о
Преобразование (3) называют преобразованием Фурье — Бесселя. Мы доказали, таким образом, что при преобразовании Фурье на плоскости над «радиальной частью» ср (г) функций из подпространства 2'„ выполняется преобразование Фурье — Бесселя.
Применяя обратное преобразование Фурье на плоскости, получаем формулу обращения для преобразования Фурье—Бесселя:
СО