Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
где g=g(r, ср, а) и ЯфО.
Очевидно, что операторы TR(g) упигариы в тогда и только тогда, когда R — чисто мнимое число, R, = ip.
Выберем в пространстве ф ортонормированный базис, состоящий из функций { emi/} — собственных функций операторов TR (ш), ш ^ й3, где 23 — подгруппа вращений плоскости. Матричные элементы t„n(g) задаются в этом базисе формулой
tL(g) = (TR(g)ein\ (3)
Принимая во внимание выражение (4) п. 1 § 2 для скалярного произведения в ^ и равенство (2), получаем
tL ig) = ^ J C0S (ф - (л - т) Ч (4)
о
Пусть г = ср = 0, т. е. движение g является вращением на угол а вокруг начала координат. В силу ортогональности функций е1П^ в этом случае
tmn (g) = tmn (а) = е~~1плътп. (5)
Таким образом, вращению на угол а вокруг начала координат соответствует диагональная матрица 7^ (а), на главной диагонали которой стоят функции е~1па, — оо<^л<^оо.
§ 3] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ TR(g) 211
Пусть теперь ср = а = 0. В этом случае g является сдвигом на г^> 0 вдоль оси Ох и формула (4) принимает вид
2тг
j.R /„1__j.R 1 (* Rr cos ф + i (л — т) Ф ,,
tmn (g) = tmn (Г) = I е т ^ Y tf ф. (6)
О
Подстановка ф = ~ — 6 приводит равенство (6) к следующей форме:
Сп (г) =i~ J si"«-'(»—) V0. (7)
О
Введем обозначение
2тг
Jn (х) = ~ \ eix sin 0 - in Ча, _ (8)
o’
где п — целое число, и назовем Jn (л:) п-й функцией Бесселя от х. Пользуясь этим обозначением, можно переписать формулу (7) следующим образом:
tln(r) = in~mJ^m(.....т- (9)
Итак, матричный элемент tmn(r) матрицы TR(г), соответствующей сдвигу на г^> 0 вдоль оси Ох, зависит от Rr и разности индексов
п — т., и лишь несущественным множителем in~m отличается от
(п—т~)~й функции Бесселя аргумента — iRr.
Чтобы получить теперь выражение для t^nig) в общем случае, g=g(r, ср, а), достаточно сделать в интеграле (4) подстановку
(J) — ? = у — Мы получим
t«a(g) = ln-me-*m + lm-n)'e]Jn-m(-lRr). . (Ю)
Впрочем, формула (10) непосредственно следует также из разложения (7) п. 2 § 1. В силу этого разложения
Тц (g) = Тк (ср) Тк (г) 7* (а - <р). (11)
Поскольку матрицы 7^(cp) и — <р) диагональны, и на их главных диагоналях стоят функции е_гл<|> и a t^n (г) =
= гл_тУл_т(—IrR), мы приходим к формуле (10).
Как отмечалось выше, при чисто мнимых значениях R, R = ip представления TR(g) унитарны. Матричные элементы этих представлений выражаются через функции Бесселя вещественного аргумента (g) = f-m-nna + im-nw Jnm (pr)_
Если g — тождественное преобразование, g = g(0y 0, 0), то оператор Ttz(g) единичен и ему соответствует единичная матрица. Отсюда следует, что Jn_m (0) = 8mn, J0 (0) = 1 и Jn (0) = 0 при пф 0.
212 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
2. Связь функций Бесселя с противоположными индексами.
Докажем, что имеет место формула
•/»(*) = (-!)“/-Л*). О)
Для этого введем в пространстве tr> функций /(ф) на окружности оператор Q1), определяемый формулой
Q/('W=/(-40. -(2)
Этот оператор коммутирует с оператором TR(g)=TR(r), где g = = g(r, 0,0) — сдвиг вдоль оси Ох. В самом деле,
QTr (= QeRr cos * f{f) = е*г cos Ф /(— ф)
TR{r) Of (ф) = TK(r)f ( ф) = е^«» + /(-ф),
а поэтому
QTR{f)=TR{r)Q. (3)
Оператор Q переводит базисный элемент ein^ в а потому
матрица оператора Q имеет вид (qmл), где qm _m=l и qmn — 0, если. тА^пф 0. Но тогда из равенства (3) получаем
tlm,n(r)=t«'_n(r). (4)
Принимая во внимание формулу (9) п. 1, получаем отсюда
(- т=с- т.
Положим в полученном равенстве т = 0, —iRr=z. Мы имеем тогда
4(г) = (-1)“/.п(г).
Равенство (1) доказано.
3. Разложение функций Бесселя в степенные ряды. Выведем теперь разложение функций Бесселя в ряды по степеням х. Для этого воспользуемся интегральным представлением этих функций (см. формулу (8) п. 1). Разлагая в этом представлении etxsin$ по степеням ix sin ф и почленно интегрируя, получаем
СО
Jn (Х) = 2 акХ'г>
где
2я
а* = 2^ф_''ЛФ(г'51
