Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
cos^-foa) bx -f a2 sin <Xj -f b% cos <Xj . (1)
0
1
a = ax a2 cos — Ь% sin a1;
b = b1Jr a<i sin Ь$ cos 04,
a = ctj —J—0Ц)..
(2)
(2')
(2")
ГРУППА М (2)
203
чим через уа вектор, получающийся из вектора у вращением на угол а. В этих обозначениях равенства (2) — (2") принимают вид
g(x, a)g(у, Р) = ^(х4-уа> a-fp). (3)
Из формулы (3) следует, что если g=g(x, а), то
grl = g(— х_а, 2ir — а). (4)
Группа М (2) является примером широкого класса групп—скрещенных произведений коммутативных групп и их групп автоморфизмов. Именно, пусть В—некоторая коммутативная группа и А — группа, элементами которой являются автоморфизмы группы В. Рассмотрим пары вида (b, а), где Ь?В, а ?А, и определим умножение этих пар формулой
(*п Oi) (К а3) = (*i + «1*2, OiOa)
—элемент, в который переходит элемент Ь2 группй В при автоморфизме аг). Легко проверить, что множество Q пар (b, а), а ? А, b ? В образует группу относительно этого умножения. Элементы вида (b, е), где е — тождественный автоморфизм, образуют нормальный делитель в G, изоморфный группе В, а элементы вида (0, а)— подгруппу, изоморфную группе А.
Группу Q называют скрещенным (или полупрямым) произведением групп В и Л и обозначают Q — B^.A. Группа М (2) евклидовых движений плоскости является скрещенным произведением двумерного вещественного линейного пространства и группы евклидовых вращений этого пространства:
М (2) = Е2 * SO (2). (5)
Наряду с параметрами а, Ь, а в группе М(2) удобно применять другие параметры, аналогичные углам Эйлера для группы вращений трехмерного евклидова пространства. Эти параметры определяют следующим образом. Зададим вектор х = (а, Ь) полярными координатами, т. е. положим a = rcos ср, ? = rsincp. В качестве параметров, определяющих движение g(a, b, а), примем числа г, ср, а. Мы будем
писать g(a, b, a)=g(r, ср, а), и надеемся, что это не приведет к не-
доразумениям. Очевидно, что параметры г, ср, а изменяются в следующих пределах:
0 < г < оо, I
0 ==с ср < 2х, 1 (6)
0 -< а 2тс. J
Аналогом разложения .(6) из п. 1 § 1 главы III является для группы М (2) разложение вида
g{r, <?, <*) = ?(0, 0, cp)g-(r, 0, 0)*(0, 0, а —ср). (7)
Движения g-(0, 0, ср) и g-(0, 0, а—ср) являются вращениями вокруг начала координат, a g(r, 0, 0) — параллельным переносом на г^> 0 вдоль оси Ох.
204
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
Если gi = g(rb О, 04) и gi = g{h, 0, 0), то из формул (2)-легко вытекает, что g\g<i=g(r, ср, а), где
г = У г\ г| -)~ %rirs cos а1( ri + r2elai
(2") (8) (S')
а—а,. (8")
Геометрический смысл этих формул ясен из рис. 1.
Общий случай легко сводится к рассмотренному. Именно, чтобы найти параметры произведения gxg^ движений g1 = g(r1, срь а,) и gi(rb ад> надо в формулах (8) — (8") заменить ^Haa,-)-^—cpj,
ср на ср—cpj и а на a—<ц. В самом деле, из разложения (7) и равенства
g(0, 0, a, — cpj)^(0, 0, ср2) =
= g(0, 0, а, + ср4 — <р,) (9)
вытекает, что
gigi = g(°> °> ъ)§(гь 0, 0)Х
Xg(0, о, ai-fcp3 — cpj) X Xg(h, 0, 0)^(0, 0, a2— <ра). (10)
Параметры движения g’ = g(rv 0, 0)g-(0, 0, aj-f-'pa— 9i).g(r* 0, 0) могут быть вычислены по формулам (8)—(8") (с заменой ах на ai-f-cp2 — cpj). Но при умножении движения g на ^(0, 0, cpj) слева и на ^(0, 0, а2 — ср2) справа параметр ср увеличивается на ср1( а параметр a — на ouj —}— cpj — ср2. Отсюда легко вытекает наше утверждение.
3. Алгебра Ли. Вычислим теперь алгебру Ли группы М (2). Рассмотрим в группе М (2) три однопараметрические подгруппы: подгруппу 21; состоящую из матриц вида
¦ fl О
Ш1 (0 = 1 0 1
\о о
подгруппу 22, состоящую из матриц вида
/1 О
t\
\
О ] 1/
О)
0\
“2 (0=1 0
подгруппу 23
\0 0 1/ состоящую из матриц вида / cos t — sin t
ш3(?) = sin t cos t
\ 0 0
O')
(1")
§ ч
ГРУППА М (2)
205
Очевидно, что касательная матрица ах пы имеет вид
du>i (t)
~dT~ i=0 для подгруп-
(2)
Точно так же касательная матрица для подгруппы имеет вид
Поскольку группа М (2) задается тремя параметрами, а матрицы ах, а%, а3 линейно независимы, то они образуют базис в алгебре Ли группы М (2).
Соотношения коммутации для матриц а1( а.г, аъ имеют следующий вид:
где, напомним, [a, b\ = ab — Ьа.
Мы видим, что эти соотношения напоминают приведенные в п. 3 § 1 главы III соотношения коммутации для алгебры Ли группы SU(2) (или, что то же, для алгебры Ли группы SO (3), локально изоморфной SU(2)). Различие состоит лишь в том, что в первом из этих соотношений а3 заменено нулем. Алгебра Ли группы М (2) может быть получена путем предельного перехода из алгебры Ли группы 50(3). Для этого надо заменить в алгебре Ли группы 50(3) ах на Rat и а3 на R.ab а после этого устремить R к бесконечности. В п. 1 § 7 будет показано, что и сама группа М (2) получается путем аналогичного предельного перехода из группы 50(3).
