Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
С (4, 4, /; у, А, у -|- А) =
= (_iy-/1-*(^+i.)» с(4, /, 4; k, -}~к, -]) =
= (— 1 у2 с(/,4, 4; ~j~kj,~k) =
-L
= ^1>'2 + а(Йт)2 С(/’ 4’ /i; -Л- (7')
Выведенные соотношения симметрии для коэффициентов Клебша — Гордана удобно представить с помощью введенного Вигнером сим-
/ 4 4 4 \
вола , где
\М\ тъ т3]
С(4, к, /; у, А, у + А) = (-1)'1-'» + / + ‘V2/+l(J ^ _у_ А).(®>
190
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. ш
Соотношения симметрии для символа Вигнера формулируются следующим образом: поставим в соответствие этому символу матриЬ.у третьего порядка
п /—У1+У2+У3 h—h~\~h Ji ~\~Ji Уз\
Ji J* Уз \ . . . \
Ji mi У-2 • h — m3 . (9)
W, «2 т-i/ . , . . . , /
V У1 + У2 -f «2 Уз + *ra3 /
При четной перестановке строк или столбцов этой матрицы или при транспонировании символ Вигнера не меняется, а при нечетной перестановке строк или столбцов он меняет знак.
5. Некоторые частные значения. Укажем некоторые случаи, когда коэффициенты Клебша — Гордана состоят из одного слагаемого. Пусть 4=У- Тогда в формуле (14') п. 3 остается лишь слагаемое, для которого 5 = 0, и мы получаем
С (4> 4, /; l\, к, 4-к)^
_ЛГ <21 + 1) (/ + + k)\ (4 - k)\ (24)! (/ + /,- Л)! т
У (/_/1_A)!(/s_/ + /1)(/1 + A)!(/_/s+/1)!(/ + /1 + /1+i)l ¦ ^
Используя соотношения симметрии п. 4, получаем одночленные выражения в случаях:
а) у = ±А, б) к = ±/ь в)у' + ? = ±4 Например,
С (4, 4, /; у, /—у, /) = (- 1У‘-^'Х
Vl/_____________(2/ + 1)! (/, + /, - /)! (/, +;)! (/2 + /—У)!___
А К (/ - 4 + 4)! (Л + 4 + I + О! (Л -У)! (4 ~ I +УИ (* + 4 - 4)! ' 1 ’
Далее рассмотрим случай, когда В этом случае в фор-
муле (14') п. 3 остается лишь слагаемое, для которого s = 4—у. Мы получаем
С (4, 4, 4 4; У, к, j -\-k) =
_ ЛГ(Ь + 4 + У + k)\ (А + /3 - у - fe)l (2Л)Г(ЩГ
— (4 — У)! (4 - А)! (4 +;)! (4 + k)\ (24 + 2/2)! ’ W
С помощью соотношений симметрии п. 4 отсюда получаем одно-
членные выражения в случаях / = 4 — 4 и ^=4— 4-Например, при 45=4 имеем
С(4, 4, 4 — 4; у, у + ?) = (— i)'2 + * X
v -Л Г~ (24 — 24 + 1)1 (24)1 (4 - У)1 (4 + У)! m
г (4 — 4 + У + *)! (4'—4 —У — *)! (24 + 1)! (4 — *)! (4 + *)! w
Одночленное выражение для коэффициентов Клебша — Гордана
§8] КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША — ГОРДАНА 191
получается еще в случае, когда j = k = 0. Из формулы (13') п. 3 следует, что
С(/„ /„ /; 0, 0, 0) = -7 , *------X
2 1 li + 12 + /J /о! /[
(2/ + 1) (/ + /, - /2)1 (/, + 4 - /)! (/, + /8 + /+1)1 1
XV
х $ *'у' V-о-*1)1**-
— 1
Ясно, что этот интеграл ранен нулю, если нечетное число
(в этом случае подынтегральная функция нечетна). Пусть теперь I-\-+ ЛН~4 = 2g, где g—целое число. Легко показать, что
J (р, s, q)= jj (1 — хУ ^ (1 — хУ dx =
dx-
(— l)s -2s + 1 р[ q\ (2s)! (p + q — 2s)J (p + q — s)!
(5)
si (P — s)l (q — s)l (2p + 2q — 2s + 1)!
В самом деле, при s = 0 значение интеграла (5) дается равенством 1
С 22p + 2? + i \(п 4- о)!12
J(p, 0,,)= ^Д+тг- (в)
—*1
в соответствии с формулой (5). Так как
(! _ ху = JPLlj [2q (2q - 2) (1 - *2)? - 2 - 2q (2q - 1) (1 - дг»)?-1],
TO
J(p, S, <7) = 2q (2q — 2) J (p, s—1, q — 2) — 2? (2? — 1) J(p, s — 1, ? —1). (7)
Рекуррентное соотношение (7) с начальным условием (6) имеет, очевидно, единственное решение. Подстановка показывает, что этим решением является выражение (5).
Из равенства (5) следует, что
С (/,, /„ /; 0, 0, 0) =
(2/+ I) (/ + Л — /.)! (/, + /,-/)!(/- /, + /,)! v,
— <¦ у (Л + 4 + /+1)! х
(/, + /, + /+ 1)!
где 2g = I 1Х -|- /4.
х ’ (8)
192 ГРУППА УНИТАРНЫХ MAfPHU ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Hi
В силу соотношения симметрии (4) п. 4 получаем отсюда, что если 2g-=/-|-2/1 — четное число, то
С(/„ /„ /; у, у, 2у)= _______________________________
пг-пА (2/ + 1) (2у + /)1 (2/, — /)! (/— 2у)!
-( ^ V (2Л+/+1)! Х
v_______________i!_____________ O')
