Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
4. Комплексификация, Построим комплексную группу Ли, одной из вещественных форм которой является группа М (2). Для этого будем считать в группе М (2) параметры а, Ь, а комплексными числами. Очевидно, что параметр а определен при этом с точностью до кратного 2п. Поэтому указанные параметры изменяются в следующих областях: а и b пробегают всю комплексную плоскость, а а — полосу 0 Re а < 2п.
а для подгруппы 23 — вид
/О -1 0\
1 \
1 0 0 1
.0 о о/
(2")
[аь аа] = 0, [а2> а3] = аь
[а3, aj] = a.2)
(3)
(3')
(3»)
206 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
Очевидно, что параметрические уравнения (2) —(2') из п. 2 сохраняют свой вид и при переходе к комплексным значениям параметров. Обозначим построенную группу через М (2, С). Группа М (2) является подгруппой группы М (2, С), соответствующей вещественным значениям параметров а, Ь, а.
Наряду с параметрами а, Ь, а в группе М (2, С) можно использовать параметры г, ср, а, связанные с а, Ь, а равенствами a=r cosy, Ь = г sin ср. Эти параметры изменяются в следующей области:
Re г > 0, 0 Re <р < 2тс, 0 Re ч <с 2тс;
для них сохраняют силу параметрические уравнения (8) — (8") из и. 2.
Заметим еще, что алгебра Ли группы М (2, С) состоит из линейных комбинаций матриц aL, д2, а3 (см. п. 3) с комплексными коэффициентами.
§ 2. Неприводимые унитарные представления группы М (2)
1. Описание представлений. Дадим описание неприводимых представлений группы М(2). Обозначим через 3) пространство бесконечно дифференцируемых функций /(х) на окружности лг|-)-л:|=1. Зафиксируем комплексное число R. и поставим в соответствие каждому элементу g(а, а) группы М(2) оператор TR(g), переводящий функцию /(х) в функцию
TR(g)f(x) = e«(*:*V(x^. (1)
Здесь х_а — вектор, в который переходит х при вращении на угол —эс, и (а, х) = -)- а2х2.
Покажем, что TR(g) является представлением группы Ж(2). Пусть g\ = gifl, <*) и g2 = g(b, р). Тогда
7*(gi) 7>(ft)/(x)= TR{gl)eR(b’ = xV(b’ x-«,/(x_(l_(i).
Так как (Ь, х_а)=(Ья, х), то
TRtei) TRte*)/(x) = e*(a + V x>/(x_p).
С другой стороны, по формуле (3) п. 2 § 1 имеем
gigi = g(*> <*)g(b, p) = g(a + ba, а + р)
и потому
7* (gift)/ (х) = '13 + Ь“- хУ(х„_р).
Поэтому TR(g1g2)=TR(g1) TR(g2). Тем самым доказано, что TR(g) является представлением группы М (2).
Параметрические уравнения окружности jcf —(— == 1 имеют сле-
дующий вид:
§ 2] НЕПРИВОДИМЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 207
Поэтому мы можем считать функции /(х) из пространства 3) функ-
циями от ф:
/(х)=/(ф).
Операторы TR(g) записываются при этом так:
Tr Шт = е*Г C°S № “ V)f (Ф - «). (3)
где а = (г cos 9, г sin ср), g=g{а, а).
Введем в пространство 3) скалярное произведение, положив
Ы=i J ^ rff w
о
Пополнив 3) по этому скалярному произведению, получим гильбертово пространство Ясно, что представление TR(g) унитарно относительно скалярного произведения (4) тогда и только тогда, когда
R = ip — чисто мнимое число.
2. Инфинитезимальные операторы. Вычислим инфинитезимальные операторы представлений TR(g). Оператор где
»,(<) = ( 0 1 О , (1)
\0 0 1/
переводит функцию /(ф) в
R
Отсюда вытекает, что
^вК(0)
А1 ¦
dt
= Rcos Ф, (2)
т. е. — оператор умножения на R cos ф.
Точно так же доказывается, что инфинитезимальный оператор Л2, соответствующий подгруппе 22 матриц вида
/1 0 0\
«>,(*) = 0 It), (3)
\0 0 I/
задается формулой
A2 = R sin ф. (4)
Оператор же А3, соответствующий подгруппе 23 матриц вида
'cos t — sin t 0\
(f)== [ sin t cos t 0 J, (5)
0 0 1/
208 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
задается формулой
3. Неприводимость представлений. Докажем, что при R^t 0 представления TR(g) неприводимы. Заметим сначала, что сужение представления TR(g) задает представление
^К(а))/(ф)=/(ф-”«) (1)
подгруппы 23 вращений плоскости. Но это представление является не чем иным, как регулярным представлением группы вращений плоскости. В п. 3 § 2 главы II было показано, что инвариантными подпространствами в ф относительно представления (1) являются одномерные подпространства ф„, состоящие из функций вида апеш При этом сужения представления 7'л(о)3(а)) на различные подпро-
