Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Если же 2g—нечетное число, то С (A, A, A У, У, 2у) = 0.
6. Разложение произведений функций Р1тп(г).В п. 3 было показано, что
*i + h
= 2 С (А, А, А у, k, j -\- k) с (А, А, А /; к; у + к) tlj + *, у + ** 00 (1)
г = |г2-г11
(напомним, что коэффициенты Клебша—Гордана в выбранной нами нормировке вещественны).
Подставим в это равенство выражения функций tli,(u), tlgk,(u), tlj.|_* 00 через углы Эйлера (см. формулы (6) п. 3 §3). После
сокращения на е~ 'К-' + *)? + (;' + *') ti получаем равенство
р,/г =
h + h
= 2 С(А. А, А у, k, j-\- к) с (А, А. А Г, k\ j’ + k’)X
i = \i i — г2 f
Х^ + й, ,. + *(*). (2)
Эта формула позволяет разложить произведение двух функций Р0., (г) и ptkk'(z) п0 Функциям Р1. , (г). В разложение входят функ-
ции Р1. k (г), для которых |А — А|=^^=^А + А и 21 имеет ту же четность, что и 2А -|- 2А- Разложение (2) называется рядом Клебшй — Гордана.
Положим в формуле (2) j = k=j' = k' = 0. Так как Plw(z) = = Pt(z), а значения С (А. А- А 0, 0, 0) даются формулой (6) п. 5, то
Ph{z)Ph{z) =
= llyS (2/ + l) 0 + А — /,)1 (А + А - /)1 (/ - А + /,)1 (g!)2 п ,_Л , (A+A + /+i)![fe-A)!fe-A)!te~-A!]2 iW’ w
‘ = I Ч — <2 I
А + А +1
где g=- • у------- и суммирование распространяется на значения А
имеющие ту же четность, что и А А-
§8] ' КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША - ГОРДАНА 193
Формула (3) позволяет вывести разложение функций Pl.\,\z) по присоединенным функциям Лежандра. Пусть j^\j’\- Положив в формуле (1) 4=у, k = — у, k'=j, получим
р\). (z)pLL j(z)=
h + J
= 2 C(/„ j, l; j, -j, 0)C(/„y,/;/,y, /+У)/* , + }(z). (4)
Так как
Г'
^ у f+T+W p!+,'w’
с (А, у, /; у, — у, 0) =
= VlI7-
- j)\ — + У)! (Л - / + У)! (li + I + J+ 1)!
и
C(/„ у, /; /, у, /'+y) = (-l)-' + *i+/X
(2/ + 1)(/ + ;+ /)! (Л-/)! (* + *.-/)2jl
+ j + 1)! (/ — h + У)! (/,_/ + ;•)! /)! (/, + /)! ’
TO
f1 ~zV/^i (z) = i2li-i ~ У (2jV l/" ^ + ¦/)! x
i 2 |/ (/1 —у)! (/j +/)! A
у V ' (___iV_________(2/ -|- 1) (/ -|- /i — j)\_
x 2 ( } (/+Л+У+1)! (.i—h+mh—i+Bpi {z)- ( )
i=h~i
Если положить в равенстве (2) /2= у, ? =—у, ?' =— у', то точно так же получим разложение /Ча, (г) по (г):
/*(г) =2V-/ ]/-—Z^i--)!(1 (1 +г)"^ X
*1 + /
X 2 С(/„ у, /; у, -у, 0)С(/„ У, /; /, -/, 0)Р,(г). (6)
i = h-i
Однако в этом случае второй коэффициент Клебша — Гордана не сводится к одному слагаемому.
Формула (2) приводит также к многочисленным рекуррентным соотношениям для функций Plmn(z)- Чтобы получить их, надо придать 4 в формуле (2) значения /s=ys или 1.
7 Н. Я. Виленкин
194 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. Ill
Положим 4 = 1/з> k = k’= ‘/а и примем во внимание, что
1/2 (cos 6)— cos 0/2, и что по формуле (14') п. 3
j’ ~2’ "j/"2/± + 1 ’ r(l — / _1_ L- / _L ; _i_ J_\ = 1 А Л + J + 1
с 2 ’ 1 г 2 > 2 ’ J ' 2 У г 2/j + 1 ’
Поэтому мы имеем рекуррентное соотношение
cos ~ Р)), (cos 6) = f +1/3 (cos 0) +
4- ^ Oi + ; + 1)(/i+/' + 1) ргд + v2 . (cos 6).
i 2/t + 1 /+ V2, /' + Vs 'ли:> '
Точно так же, полагая /2 = 6 = 1/2, fe'=— lj%, получаем
i sin у Mi., (cos 0) = V(/l +— ¦ P}+?fl j' _ i/2 (cos e) +
\V (Л+У+1)(Л— /+ 1) ptt + 1/а (cos 6)
^ 2^+1 O+V2, r-V8^us>
При /2=1 получаем девять рекуррентных соотношений. Выпишем лишь одно из них, получающееся при / = k’ = 0:
V (Л + & + l)0i — ft + 1) (Л + У + 1) (^1 — 7 + 1) ph 4-1 /-гп<, йч
(2/1+1)(/1+_0_______________________> 1 '“Г
Ы (cos 6) + У ^ + р1 х (cos 0) =
I /l(/1+ !)' у* V— / I /,(2*1+1) J*
= cos 0Р^ (cos 0).
7. Связь с многочленами Якоби. В этом пункте будет показано, что коэффициенты Клебша — Гордана являются конечно-разностным аналогом многочленов Якоби. Для этого понадобится конечно-разностный аналог степени, так называемая символическая степень. Пусть п — целое число и а—любое комплексное число. Назовем символической я-й степенью числа а и обозначим через а(л> выражение
а(п)=______Г(а + 1}— (1)
Г (а — п-\- 1) • ’
